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Quadrilatères inscriptibles
Bonjour,
j'ai un doute concernant cet exercice : pouvez-vous me dire si j'aurais pu faire autrement pour le n°2 ?
Merci beaucoup !
On a un triangle isocèle ABC avec BC pour base. H étant le milieu de BC, on suppose que HA > HB. On prend un point O sur HB et l'on trace un cercle de centre O et de rayon OB recoupant AB en M et BC en D.
1°- Montrer que O, M, A et C sont situés sur le même cercle.
2°- Montrer qu'il en est de même pour D, H, M et A.
Pour le 1°, il suffit de prouver que :
MOB = 180 - 2OBM
CAB = 180 - 2ABC
OBM = ABC
Donc MOB = CAB
Les triangles OMB et ABC sont donc semblables et les angles AMO et ACO supplémentaires. Le quadrilatère AMOC est donc inscriptible.
2°- Je me sers du résultat du 1° :
Conséquence du 1° : BO*BC = BM*AB
Or BO = BD/2
BC = 2BH
Donc BH*BD = BM*AB
Donc les points D, H, M et A sont situés sur le même cercle.
Ma question est la suivante : aurait-il été possible de le prouver avec les triangles semblables BMH et ADB ? Car j'ai eu beau chercher, je n'ai pas trouvé le moyen de prouver que les deux triangles sont semblables.
Bonjour,
1. ACB et OBM étant isocèles par définition et par construction, il suffit qu'ils aient un angle homologue égal pour qu'ils soient semblables ; c'est évidemment le cas de l'angle B commun aux deux.
2. Ta démonstration est très rapide et élégante (mais je ne savais pas que la propriété BM.BA = BO.BC était au programme de seconde), et je ne vois a priori rien de plus simple.
Bonsoir,
D'où vient s'il vous plaît la conséquence utilisée pour répondre à la question 2,
BO.BC=BM.AB
Merci beaucoup.
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