Bonjour.
Bon déja dans le cas q'une quadrique la forme quadratique est définie sur tout l'espace, la quadrique est précsiément le lieud es points d'anualtion de la forme quadratique (son cone isotrope).
Ensuite qu'appelle tu un centre?

D'après le cours cela constituerai l'unique centre de symétrie de la quadrique. Dans le cours, on a pas fait la démonstration à proprement parlé mais on a juste indiqué les valeurs propres (de la forme quadratique je suppose) devait être nulle.

Je ne sais pas ce qu'est le cône isotrope mais je pense être en mesure de trouver par moi même...

Bonjour, soucou

Faisons la démonstration du théorème (en même temps, cela permettra de rectifier une inexactitude).

Soit Q une quadrique d'équation
ax²+by²+cz²+2dxy+2exz+2fyz+2gx+2hy+2iz+j=0

Soit Omega (u,v,w) un point de l'espace. Ecrivons l'équation de Q dans le repère de centre Omega (on garde la même base). Les formules de changement de repère donnent:

x=X+u     y=Y+v    z=Z+w
Et l'équation de Q dans le nouveau repère s'écrit
a(X+u)²+b(Y+v)²+c(Z+w)²+2d(X+u)(Y+v)+2e(X+u)(Z+w)+2f(Y+v)(Z+w)+2g(X+u)+2h(Y+v)+ 2i(Z+w)+j=0

Ce qui s'écrit:
aX²+bY²+cZ²+2dXY+2eXZ+2fYZ+2(au+dv+ew+g)X+2(du+bv+fw+h)y+ 2(eu+fv+cw+i)z+j=0


Condition suffisante d'existence d'un centre de symétrie

Suposons que                

Alors, l'équation de Q s'écrit:

aX²+bY²+cZ²+2dXY+2eXZ+2fYZ+j=0

Ce qui montre que Omega est centre de symétrie de Q: en effet, si M(X,Y,Z) est dans Q, alors M'(-X,-Y,-Z) est dans Q


La condition ci-dessus est-elle nécessaire?
La réciproque est fausse: si Q est l'ensemble vide, tout point est centre de symétrie de Q ... On peut montrer que la réciproque est vraie dans le cas où Q n'est pas réduit à l'ensemble vide, mais la démonstration est assez longue (pas difficile, mais assez longue).

Cas où la matrice de la forme quadratique est inversible
Alors, l'équation encadrée admet une unique solution, et il y a un unique centre de symétrie. Ce centre de symétrie n'appartient pas obligatoirement à la quadrique.

Un hyperboloïde, à une ou deux nappes, admet un unique centre de symétrie (ceci est une réponse à une question posée dans le post initial).

Cas où la matrice de la forme quadratique n'est pas inversible
Dans ce cas, l'équation encadrée admet une infinité de solutions ou n'admet pas de solution.

Par exemple, un cylindre elliptique a une infinité de centres de symétrie; un paraboloïde, elliptique ou hyperbolique, n'admet pas de centre de symétrie.


Explication de l'astuce avec le gradient
On constate que cette astuce donne le résultat.
Je n'ai pas d'explication géométrique à proposer.

D'accord, merci beaucoup pour cette démonstration.

D'ailleurs quand je faisais allusion à hyperboloïde à une nappe, pour moi dans ma tête, je m'imaginais plutôt un cône de révolution; je ne suis pas certain qu'il y a des hyperboloïdes admettant un "étranglement" (dont la section droite est réduite à un point ), car dans ce cas la surface ne serait plus régulière.

Merci beaucoup

Enfin "section droite"... Comment dire