par , je voulais dire

C'est pour vérifier l'associativité de la loi multiplicative, le double prodit vectoriel, non ?

Pour l'unicité de l'algèbre, voilà ce que je te propose sans en être sûr : prend une algebre H' avec une base 1,i',j',k' vérifiant les relations, définis une application f qui envoie 1 sur 1, i sur i', j sur j' et k sur k'. C'est évident que c'est un isomorphisme d'espace vectoriel (ça envoie une base sur une base). Maintenant t'as plus qu'à prendre x et y dans H, tu les décomposes sur ta base, et tu calcules f(xy) et f(x)f(y), c'est long mais à la fin tu trouves bien que c'est égal.

Dis moi si mon raisonnement est faux, ça m'évitera de reproduire le même lors du partiel (avec ces profs qui redonnent en partiel les sujets traités en TD, on a intérêt de bien préparer les exos ^^)

salut,

oui je suis parti pareil, on rajoute donc une condition de linéarité sur f par rapport à ce que disent wiki, mais j'ai eu la flemme pour l'instant de finir les calculs de f(xy) et f(x)f(y)

j'avais zappé l'associativité, ce n'était pas dans la définition de wiki, mais c'est vrai que ça paraît logique que ça sert à ça, d'autant plus qu'il dise qu'elle est associative,

merci

Sur les-mathématiques.net ils disent qu'un morphisme d'algèbre est un morphisme d'espace vectoriel ET un morphisme d'anneau.
Là, on définit f comme un morphisme d'espace vectoriel (puisque qu'on définit f par son action sur une base de H), reste à montrer que c'est un morphisme d'anneau, ie que 1->1 (ça c'est par définition), et que f(xy)=f(x)f(y) (ça c'est par le calcul).
Bon voilà, après avoir écrit ce paragraphe je susi à peu près convaincu ^^

ok et donc f est évidemment bijectif

a-t'on pour tous , ?

Bon apparement c'est vrai:

Pour la c) j'ai du mal pour montrer que les éléments non nuls sont inversibles.

Je prends un élément . On cherche alors tel que



i.e.

i.e

Après je ne vois pas comment on résoud cette équation?

Ah oui j'avais pas vu cette question.
Déjà la troisième ligne te dis que u et v sont colinéaires.
En posant v=ku, on a :
rs - kN(u)²=1 et (rk+s)u=0
Si u=0 :
La 1ère ligne donne s=1/r (et r différent de 0 sinon on aurait notre quaternion qui est nul)
La 2e ligne devient rv=0, soit v=0
L'inverse de (r,0) est donc (1/r,0), avec v quelconque.
Si u n'est pas nul :
alors rk+s=0 ; s=-kr
La première ligne devient -kr²-kN(u)²=1 soit k=-1/(r² + N(u)²) ;
on a donc v=-u/(r²+N(u)²) et s=r/(r²+N(u)²).

Dans tous les cas, l'inverse de (r,u) est donc [r/(r²+N(u)²),-u/(r²+N(u)²)]

Désolé c'est moche mais en Latex il m'aurait fallut la nuit, et puis je le fais en même temps que je tape.

Vivement dans deux jours j'avoue que j'ai hâte d'en finir avec l'algèbre

merci, oui moi c'est pareil, ça me prend bien la tête cette algèbre