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quelqu un pourrait m aider ? SVP

Posté par tipiou81986 (invité) 13-02-05 à 11:26

Bonjour à tous,
voilà j'ai quelques pb pour faire ces exos, alors si quelqu'un peut m'aider ce serait sympa...

ENONCE 1 :

Soit E un R-espace vectoriel.
1) On considère un endomorphisme de E tel que s²=idE.
         a) Montrer que  E=Ker(s-idE)+Ker(s+idE)
Cette question je l'ai faite.
         b) Montrer que p=1/2(s+idE) est un projecteur de E.
         c) Montrer que Ker p = Ker(s+idE) et
Im p = Ker(s-idE).

2) On considère f:R^3 dans R^3 l'application définie par
    f((x, y, z))=(x, 2x+y-2z, 2x-z).

   a) Montrer que f est un ispmorphisme de R^3 tel que f² = idE.
   b) Déterminer une base des espaces Ker (f-idE) et Ker (f+idE).

3) En assimilant R^3 et E(vecteur) déduire de ce qui précéde le fonctionnement géométrique de f. Que représente 1/2(f+idE) ? Un dessin sera le bienvenu.

Voila, j'ai vraiment besoin d'aide car cet exo me permettrait de me préparer pour mon partiel.
Merci beaucoup d'avance,
A+
Aurélie

Posté par tipiou81986 (invité)re : quelqu un pourrait m aider ? SVP 13-02-05 à 15:46

personne ne peut m'aider ??

Posté par tipiou81986 (invité)re : quelqu un pourrait m aider ? SVP 14-02-05 à 08:47

y a vraiment personne pour m'aider ????
c dommage.....

Posté par
dadou
re : quelqu un pourrait m aider ? SVP 15-02-05 à 10:08

Bonjour Aurélie,

1) b) Il faut montrer que p o p= p.
p o p = 1/2(s+IdE) o 1/2(s+IdE)= 1/4(sos+ 2s+ IdE)= 1/4(2s +2IdE)= 1/2(s+ IdE)=p
Par conséquent, p est une projecteur.
c) x est une élément de Ker p ssi p(x)= 0 ssi 1/2(s+IdE)(x)=0 ssi (s+IdE)(x)=0 ssi x   Ker(s+IdE). Donc Kerp =Ker(s+IdE).

2) a) Tu dois d'abord vérifier que f est une application linéaire. Cela prouve alors que f est un endomorphisme de R^3. Il reste alors à vérifier que f est bijective. Pour cela, il suffit de vérifier (dans ce cas) que f est injective c'est à dire que :
f((x,y,z))= 0 ssi x=y=z=0.
Mais si f((x,y,z))=0 alors x=0, 2x+y-2z=0 et 2x-z=0; ce qui implique que x=y=z=0.
f est bien injective et donc elle est bijective.

De plus, f(f(x,y,z))=f((x,2x+y-2z,2x-z))=
(x,2x+(2x+y-2z)-2(2x-z), 2x-2x+z)=(x,y,z). On a donc fof=IdE.
b) (x,y,z) Ker(f-IdE) ssi f(x,y,z)-(x,y,z)=0 ssi (x,2x+y-2z,2x-z)-(x,y,z)=0
ssi (0,2x-2z,2x)=0 ssi ( 2x=2z et x=0) ssi (x=z=0).
En conséquence Ker(f-IdE)=vect{(0,1,0)}.

Peux tu essayer de déterminer une base de Ker(f+IdE) ?

Dadou

Posté par tipiou81986 (invité)re : quelqu un pourrait m aider ? SVP 15-02-05 à 13:03

merci Dadou de ton aide, je vais essayer de le finir et si j'ai un petit problème je pourrais faire appel à toi ?
Mais j'espère que je vais réussir toute seule.
Merci encore
A+
Aurélie

Posté par
dadou
re : quelqu un pourrait m aider ? SVP 15-02-05 à 13:56

Pas de probleme !
Surtout pour la derniere question, n'hesite pas
à me solliciter si besoin.
Dadou

Posté par tipiou81986 (invité)re : quelqu un pourrait m aider ? SVP 15-02-05 à 15:56

Recoucou,
voila je suis toujours sur mon exo et j'ai queque ennuis,
pour la question 1)c, je n'ai pas tout compris...
Dans la question 2)a, j'ai montré que f était linéaire et il me reste à montrer que f est bijective, et moi j'ai essayer de faire comme dans mon cours mais j'arrive à des choses incorrectes...et dans ton raisonnement je ne comprends pas tout...

Enfin, dans la question 2)b. j'ai repris ton raisonnement et j'arrive à :

    2x=0
    2x+2y-2z=0
    2x=0
Donc x=0 et y=z
Mais comment je fais ensuite pour en déduire "la base" ?

Voila merci encore, la question 3 je  vais y réfléchir...
A+
Aurélie

Posté par
dadou
re : quelqu un pourrait m aider ? SVP 15-02-05 à 16:25

Rebonjour,
si tu veux on peut reprendre les questions que tu n'as pas comprises une à une.
Pour le 1 c:
x est un élément de ker(p) ssi p(x)=0
(ça c'est la définition du noyau de p ).
Ensuite,j'utilise la définition de p.
On sait que p(x)=1/2(s+IdE)(x). On doit donc avoir
1/2(s+IdE)(x)=0 c'est à dire (s+IdE)(x)=0.
Mais la encore j'applique la definition du noyau mais cette fois pour s+idE.
(s+IdE)(x)=0 veut dire que x ker(s+idE).
Dis moi si c'est ok pour cette question.
Dadou

Posté par tipiou81986 (invité)re : quelqu un pourrait m aider ? SVP 15-02-05 à 19:21

oui pour cette question cette fois c'est bon
Merci beaucoup
A+
Aurélie

Posté par
dadou
re : quelqu un pourrait m aider ? SVP 16-02-05 à 08:31

Bonjour Aurélie,

Passons donc à la question 2 a).

Tu as du voir dans ton cours qu'une application est bijective ssi elle est injective et surjective.
Dans le cas d'une application linéaire, en dimension finie et lorsque la dimension de l'espace de départ est égale à la dimension de l'espace d'arrivée alors :
f est bijective ssi elle est injective ssi elle est surjective.

De plus, dire qu'une application liéaire est injective c'est dire que son noyau (ker f) est réduit à 0.

On prend donc un élément (x,y,z) du noyau de f c'est à dire qui vérifie f((x,y,z))=0 et on vérifie qu'alors x=y=z=0. Cela prouve que f est injective et donc dans ce cas bijective.
Sinon, on peut utiliser aussi la matrice de f mais je sais pas si tu as vu ça en cours

Dadou

Posté par tipiou81986 (invité)re : quelqu un pourrait m aider ? SVP 16-02-05 à 13:39

merci pour cette question c'est bon aussi (tu as raison je n'ai pas vu comment faire avec les matrices)
A+
Aurélie

Posté par
dadou
re : quelqu un pourrait m aider ? SVP 16-02-05 à 14:28

Reprenons alors le 2)b). (J'ai fait une erreur de calcul dans mon premier message. Pardon, Aurélie!)
On a
(x,y,z) Ker(f-IdE) ssi f(x,y,z)-(x,y,z)=0 ssi (x,2x+y-2z,2x-z)-(x,y,z)=(0,0,0)
ssi (0,2x-2z,2x-2z)=(0,0,0) ssi (x=z) ssi (x,y,z)=(x,y,x)=x(1,0,1) +y(0,1,0).
Ainsi Ker(f-IdE)=vect{(1,0,1),(0,1,0)}.

Le calcul que tu as fait pour Ker(f+IdE) est correct.
Il faut alors conclure:
(x,y,z)Ker(f+IdE) ssi (x=0 et y=z)
ssi ((x,y,z)=(0,y,y)=y(0,1,1))
Ainsi Ker(f+IdE)=vect{(0,1,1)}

Dadou

Posté par tipiou81986 (invité)re : quelqu un pourrait m aider ? SVP 16-02-05 à 17:17

merci beaucoup j'avais tenter cette question avant de voir ton message et j'étais pratiquement arrivée au résultat, à un détail près...

Merci encore
Ps : tu pourrais vérifier un des exos que j'ai fais ?
Voilà :

4 sev de R^3: R^3, R^2, R, {0}
3 sev de R3[x]: R3[x], R2[x], R[x]
1 famille libre non generatrice de R^2: (1,0)
1 famille generatrice non libre de R^2: (1,0),(0,1),(1,1)
2 sev supplementaires de R^2: Vect{(1,0)} et Vect{(0,1)}
1 application non lineaire de R3[x] dans R3[x]: f: P(x)->P(x)+1

Posté par
dadou
re : quelqu un pourrait m aider ? SVP 17-02-05 à 08:46

Bonjour,

4 sev de R^3: ok pour R^3 et {0}
Par contre, R^2 et R ne sont pas des sous-ensembles de R^3 et ne peuvent donc pas être des sev de R^3.
A part R^3 et {0} tu peux donner n'importe quel plan ou droite de R^3.
Exemples de plans:
{(x,y,0), x,y R} est un sev de R^3 (c'est un plan que l'on peut aussi écrire vect{(1,0,0),(0,1,0)})
Autre exemple:
{(x,y,z), 2x+3y-2z=0, x,y,z dans R}
Exemples de droite:
{(x,0,0), x dans R}=vect{(1,0,0)}
ou encore
{(x,y,z), 2x-y+3z=0 et x+y-3z=0}

Tout le reste est correct avec toutefois un pb de notation au niveau de R[X]. Tu voulais sans doute écrire R1[X] (ce qui n'est pas la même chose que R[X]).

Dadou

Posté par tipiou81986 (invité)re : quelqu un pourrait m aider ? SVP 17-02-05 à 10:46

merci, tu as raison pour R[x], j'ai fais une erreur..
Par contre je suis entrain de faire (ou du moins j'essaye) la question 3, et je sais pas trop par où commencer...désolé de t'embêter encore
Merci encore A+
Bonne journée
Aurélie

Posté par
dadou
re : quelqu un pourrait m aider ? SVP 17-02-05 à 17:29

Pour la troisième question, il suffit d'utiliser le fait que fof=IdE; ceci est caractéristique des symétries.
f est donc une symétrie. Reste à trouver laquelle.

Tout élément x de Ker(f-idE) vérifie (f-IdE)(x)=0 et donc f(x)=x. Ker(f-IdE) est donc invariant par la symétrie f.
f est donc une symétrie par rapport au plan vect{(1,0,1),(0,1,0)}=Ker(f-idE).
De plus, tout élément x de ker(f+idE)=vect{(0,1,1)} vérifie f(x)=-x.
f est donc la symétrie par rapport au plan vect{(1,0,1),(0,1,0)} parallèlement à la direction (0,1,1).
Si l'on pose p=1/2(f+IdE) la question 1) nous assure que p est un projecteur et que Imp=Ker(f-IdE)=vect{(1,0,1),(0,1,0)} et kerp= Ker(f+idE)=vect{(0,1,1)}. p est donc la projection sur le plan vect{(1,0,1),(0,1,0)} parallèlement à la direction (0,1,1).

Bonne soirée,
à bientot
Dadou

Posté par tipiou81986 (invité)re : quelqu un pourrait m aider ? SVP 17-02-05 à 19:00

merci beaucoup et, promis, je ne t'embête plus.
Bonne soirée
A+
Aurélie



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