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Quelques questions d'algèbre sur les Matrices.
Bonjour à tous! Alors voilà, j'ai quelques petites questions/incompréhensions vis à vis des matrices et je pense que vous pouvez m'aider.
Alors, d'abord, voici le sujet d'un exercice:
Soit M= (une matrice 2,2, 1ère ligne [3 1] 2ème ligne [2 2])
Déterminer valeurs et vecteurs propres de M, puis trouver la matrice de passage P de la base des vecteurs propres à la base canonique de 
2.
Alors j'ai fait cet exercice en cours, donc pas de problème seulement, je trouve les espaces propres suivants: Vect{(1,1)} et Vect{(1,-2)}, donc la matrice:
[1 1]
[1 -2]
est la matrice de passage de la base canonique à la base des vecteurs propres, sachant que {(1,1),(1,-2)} est une base de 2
Alors, oui, je veux bien, mais cela ne me semble pas si évident, en fait j'ai regardé dans mon cours mais bon, je sais pas, ça ne me semble pas clair, quelqu'un pourrait m'expliquer pourquoi on peut écrire ça directement?
Ensuite, une question que je me pose assez régulièrement, si on nous donne les coordonnées d'un vecteur dans la base canonique, pour exprimer ses coordonnées dans la base des vecteurs propres, il faut faire le produit matriciel:
V*(x,y)? Avec V la matrice de passage définie juste avant, et (x,y) les coordonnées? Et inversement, si le vecteur est exprimé dans la base des vecteurs propres, pour passer à la base canonique il faudrait faire C*(x,y)?
Et, une toute dernière question, "réduire en diagonalisant", c'est diagonaliser, donc, calculer V-1MV dans cet exemple? Donc, pour faire ça, dans tout les cas, il faut trouver les espaces propres, les matrices de passage, et calculer?
(J'ai le niveau L1)
En tout cas merci à ceux qui me répondront, je suis peut-être un peu confus et j'en suis désolé, mais c'est un peu confus pour moi 
PS: J'ai vu sur le site des matrices bien représentées, comment faut-il faire? Importer une image, ou autre?
Bonjour,
Ton problème ce n'est pas tant la diagonalisation que l'utilisation des matrices de changement de base. Le remède, c'est de revoir ton cours à ce sujet!
Tu peux aussi consulter cette page: 
Ah oui merci, excellente page en effet, cela dit, je crois que j'ai un beau problème avec cette phrase:
"Les colonnes de la matrice de passage sont donc simplement les coordonnées des vecteurs de la nouvelle base, exprimés dans l'ancienne base."
Donc pas de soucis, je comprends ce qu'elle veut dire, et ce qu'elle dit de faire, mais j'aimerais comprendre pourquoi c'est ça. Et particulièrement le sens de "exprimés dans l'ancienne base".
Bien, en y regardant de plus près je pense comprendre de mieux en mieux, cela dit, j'aimerais la correction d'un dernier exercice pour m'en convaincre.
On considère les deux bases de 2 E={(1,0),(0,1)} et S={(1,3),(1,4)}.
1) Déterminer la matrice P de changement de base de E à S.
Alors, la nouvelle base étant S, on prend les coordonnées des vecteurs de sa base, on a alors P=
[1 1]
[3 4]
2) Inversement, déterminer la matrice Q de changement de base de S à E.
Alors, j'ai peur de dire une bêtise, mais est-ce que Q=P-1 ?
3) Exprimer le vecteur v=(5, -3) dans la base S.
J'aimerais vous demander de me dire la méthode à employer, histoire que je ne m'embrouille pas l'esprit en partant dans le mauvais sens.
Enfin, d'après le lien donné ci-dessus, si X=PBB'X', alors X'=PB'BX, et donc dans cet exemple il faudrait calculer : ... Je ne suis vraiment pas sur, mais ça serait Q*v ?
Merci!
Oui, la matrice de passage P de B à B' donne les anciennes coordonnées X (celles dans B) en fonction des nouvelles X' (celles dans B'), par la formule X=PX'.
Pour les nouvelles coordonnées en fonction des anciennes, il faut inverser P : X'=P-1X.
Mais tout de même, n'as-tu pas eu de cours sur ce sujet ? Comment se fait-il que tu n'aies pas travaillé ce cours ?
Ok, j'ai compris, en tout cas merci.
Le truc c'est qu'on a fait quand même beaucoup de matrice, mais relativement peu d'expression d'une base à l'autre, on a explicité les matrices de passage, mais sans trop les utiliser. Ce qu'on a fait beaucoup c'est des questions du genre: " calculer la matrice de f dans cette nouvelle base", mais en s'arrêtant là.
Avec ces explications, en tout cas, ça m'éclaire vraiment, un de mes gros problème au final, était de saisir que "la matrice de passage P de B à B' donne les anciennes coordonnées X (celles dans B)", la matrice de passage de B à B', pour moi ça donnait les coordonnées dans B', je me suis borné là dessus, du coup...
Mais maintenant, ça va mieux de ce côté! Encore merci!
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