Après un petit séjour sur wikipedia, j'ai eu plus d'éclaircissements sur mes questions. Un point reste obscur:

Sur , on écrit si il existe un entier naturel tel que . C'est la relation d'ordre usuelle sur .

Comment vérifier que cet ordre est total?

Bonjour romu

Comme toujours ces questions fondamentales dépendent de la définition choisie de N.

S'il s'agit de prendre la définition axiomatique de Peano, (ensemble totalement ordonné, toute partie non vide a un plus petit élément, il n'y a pas de plus grand élément) l'ordre est réglé. Après on définit n+1 par le successeur de n (plus petit élément de l'ensemble des éléments strictement plus grands), puis n+k par récurrence.

la définition que tu donnes d'après wiki suppose l'addition définie avant la relation d'ordre...

Bonjour Camélia,

en fait la seule construction de que j'avais appris est celle qui est énoncée dans cet article : .

Cette construction donne un ensemble qui vérifient apparemment les 5 axiomes de Peano que donne cet article: , je ne vois pas avec lequel (ou lesquels) de ces axiomes je peux en déduire que cet ensemble est totalement ordonné, et possède un plus petit élément avec cette relation d'ordre.

Je ne maitrise pas trop cette construction, mais la relation d'ordre vient de la définition du successeur, et le fait qu'ils disent que 0 n'est pas un successeur, entraine que c'est le plus petit élément.

Personnellement, j'ai toujours préféré définir N comme l'"ensemble" des cardinaux des ensembles finis, un ensemble fini étant un ensemble qui n'est en bijection avec aucune de ses parties strictes.
Du coup, la relation d'ordre est définie par mn ssi il existe une injection d'un ensembe à m éléments dans un ensemble à n éléments, 0 étant le cardinal du vide. Mais de toute façon j'ai d'autres ennuis après...

ok merci pour ces indications camélia