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Question

Posté par
Krayz 07-09-17 à 21:39

Bonsoir,

J'ai voulu essayer une méthode qui, à ce que j'ai entendu, n'est quasiment jamais utilisée.

Soit la suite u définie sur par :

Etudier le sens de variation de la suite u.

1)

u_n = \frac{2^n}{n+1} \\ u_0 = 1 \\ u_1 = 1 \\ u_2 = \frac{4}{3}

La suite (u_n)n semble être croissante, démontrons le :

\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{\frac{2^{n+1}}{n+2}}{\frac{2^n}{n+1}} = \frac{2^{n+1}}{n+2} \frac{n+1}{2^n} = \frac{2^{n+1} (n+1)  >  0}{2^n (n+2  >  0}}

Donc, \frac{u_{n+1}}{u_n} 1 et ce n .

Donc, (u_n)n est strictement croissante.

PS : j'ai comparé \frac{u_{n+1}}{u_n} et 1 car les tous les termes u_n sont positifs.

Posté par
alb12re : Question 07-09-17 à 21:43

salut,
2 est positif, 3 est positif donc 2/3 est superieur à 1 ?

Posté par
Krayzre : Question 07-09-17 à 21:45

alb12 @ 07-09-2017 à 21:43

salut,
2 est positif, 3 est positif donc 2/3 est superieur à 1 ?


Bonsoir alb12,

\frac{2}{3} n'est pas supérieur à 1.

Posté par
alb12re : Question 07-09-17 à 21:51

alors je n'ai pas compris ta demo

Posté par
Krayzre : Question 07-09-17 à 21:53

Sauf que l'on ne peut pas obtenir un terme égal à \frac{2}{3} pour cette suite ! et ce n .

Posté par
alb12re : Question 07-09-17 à 21:54

simplifie le rapport

Posté par
Krayzre : Question 07-09-17 à 22:07

Je ne parviens pas à simplifier davantage.

Posté par
alb12re : Question 07-09-17 à 22:30

2^10/2^9=??

Posté par
Krayzre : Question 07-09-17 à 22:33

Ça fait bien sûr 2

Posté par
flightre : Question 07-09-17 à 23:14

salut

pk ne pas calculer  Un+1 - Un  pour verifier la monotonie

Un+1 - Un   = 2(n+1)/(n+2)  - 2n/(n+1) =

2n.(2/(n+2) - 1/(n+1)) = -2n/(n+1)(n+2) <0 sauf erreur

Posté par
flightre : Question 07-09-17 à 23:15

oups ! erreur de ma part

on a bien Un+1 - Un = 2n.n/(n+1).(n+2) > 0  

Posté par
alb12re : Question 08-09-17 à 07:25

je continue avec ton idee de depart
2^(n+1)/2^n=??

Posté par
nadiasoeur123re : Question 08-09-17 à 12:05

Bonjour ;

Krayz @ 07-09-2017 à 21:39


\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{\frac{2^{n+1}}{n+2}}{\frac{2^n}{n+1}} = \frac{2^{n+1}}{n+2} \frac{n+1}{2^n} = \frac{2^{n+1} (n+1)  >  0}{2^n (n+2  >  0}}


donc : \dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{2(n+1)}{n+2}

il te suffit maintenant de calculer : \dfrac{2(n+1)}{n+2} - 1 .

Posté par
malou Webmasterre : Question 08-09-17 à 15:35

nadiasoeur123 , je suis ravie de voir qu'en licence tu saches simplifier ce genre de fraction...Krayz à cette heure doit être en cours, ne pouvais-tu pas laisser la question d'alb12 en suspens ?...

Posté par
alb12re : Question 08-09-17 à 19:08

de grace laissez à Krayz le plaisir de la decouverte !
il etait sur le point de trouver

Posté par
carpediemre : Question 08-09-17 à 19:38

salut

Citation :
J'ai voulu essayer une méthode qui, à ce que j'ai entendu, n'est quasiment jamais utilisée.


c'est un classique pour une suite à termes positifs et en particulier quand l'expression de ces termes fait intervenir des puissances et des quotients puisque ce sont des multiplications ...

penses-tu que le calcul de trois termes (dont deux égaux) puisse permettre de proposer une conjecture sur le sens de variation d'une suite ?


je plussoie au propos de malou de 15h35 ...

Posté par
Krayzre : Question 08-09-17 à 19:56

Bien le bonsoir à tous,

Avant même de revenir sur l'île ce jour, je suis parvenu non seulement à simplifier la fraction mais j'ai finalement opté pour u_{n+1} - u_n

Posté par
malou Webmasterre : Question 08-09-17 à 21:36

Bravo Krayz !

alb12 @ 08-09-2017 à 19:08

de grace laissez à Krayz le plaisir de la decouverte !
il etait sur le point de trouver

je suis vraiment d'accord, et j'en ai marre pour tout vous dire
merci de votre soutien
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