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question asymptote

Posté par
Tesla
20-11-16 à 17:51

Bonsoir,

On a par exemple f(x) = x/2 + [ (1+lnx)/x] et C sa courbe.

On nous dit démontrer la position de C par rapport à la droite  Delta d'équation y=x/2.

Montrer en particulier que Delta coupe C en un point A que l'on déterminera.

J'ai deux questions suite à cela :

1) Quand on fait f(x) - x/2 = 0 pour trouver la position C par rapport à la droite Y, doit on dériver le résultat?
C'est à dire qu'on va avoir  (1+lnx)/x en résultat.
Mais pour étudier la position de C par rapport à delta, sur certains livres j'en vois qui disent qu'il faut dériver le résultat et faire un tableau de variation..
et d'autre qui avec simplement  (1+lnx)/x évalue la position de la courbe.

Que faut il faire en fait alors?

et

2) Pour trouver les coordonnées du point A comment fait on?
apparemment il faut trouver A = (e-1; e-1 /2) mais je me demande comment on en arrive à trouver l'ordonnée du point A (et l'abscisse remarquez..)

Merci

Posté par
carita
re : question asymptote 20-11-16 à 18:17

bonsoir

je pose g(x) = x/2
si, sur un intervalle, on a f(x) - g(x) < 0,   cela signifie que f(x) < g(x), et donc que C est située au-dessous de D

de la mm façon, si  f(x) - g(x) > 0,   alors C est située au-dessus de D

tu dois donc étudier le signe de  (1+lnx)/x

quant au point d'intersection A, c'est simplement le point dont l'abscisse annule (1+lnx)/x

Posté par
ciocciu
re : question asymptote 20-11-16 à 18:17

salut
pourquoi fait on f(x)-x/2 ? pour savoir si f(x)-x/2> à alors f(x)>x/2 la courbe est au dessus de l'asymptote
idem avec f(x)-x/2<0  mais la courbe est en dessous
donc en calculant la différence si tu peux faire un tableau de signe c'est gagné

2) il faut résoudre f(x)-x/2=0 et trouver x  ensuite pour trouver l'abscisse il suffit de dire que ce point appartient à la droite

Posté par
blath
re : question asymptote 20-11-16 à 18:22

L'abscisse x du point A vérifie f(x)=\dfrac{x}{2}  et il faut donc résoudre cette équation.
Pour étudier la position de la courbe de f et de la droite, il faut déterminer le signe de f(x)-\dfrac{x}{2}.
En général, dériver fournit des informations sur les variations. Il est parfois possible de trouver le signe à partir des variations mais le plus simple est quand-même de faire un tableau de signes. Et pour faire un tableau de signes, il convient de factoriser l'expression.
En PJ, vous trouverez des copies d'écran de XCas qui vous permettront de vérifier vos calculs. N'hésitez pas à utiliser cet excellent logiciel pour vérifier vos résultats.
A partir des calculs de XCas on sait que l'on doit prouver que la courbe est au dessus de la droite pour x \geq \dfrac{\mathrm e}{\mathrm  e^2}.
Bon courage.
P.

question asymptote

Posté par
carita
re : question asymptote 20-11-16 à 18:34

ou plus simplement, en remarquant que Df = R+
donc x>0
la question revient à étudier le signe de  1 +lnx   ... je parie que Tesla s'en sortira s'en Xcas

Posté par
carita
re : question asymptote 20-11-16 à 18:35

oups Df = R+*

Posté par
Tesla
re : question asymptote 20-11-16 à 18:59

merci à vous pour vos réponses détaillées
donc dans ce cas je dérive (1+lnx)/x  et je fais un tableau de signe

pour le point d'abscisse je n'ai pas compris pourquoi A = x/2 ...

Posté par
carita
re : question asymptote 20-11-16 à 19:03

je pense que tu n'as pas bien lu... inutile de dériver ici, le signe de f(x)-g(x) n'est pas difficile à trouver

Posté par
carita
re : question asymptote 20-11-16 à 19:10

quand au point A, ne te complique pas les choses :
lorsque tu étudieras le signe de f(x)-g(x), tu vas devoir résoudre l'équation f(x)-g(x)=0

et lorsque  f(x)-g(x)=0, ben  f(x) = g(x), non ?  (les courbes s'intersectent)
et donc la solution de cette équation est  l'abscisse du point A  
il te suffira de calculer son ordonnée, ce que tu sais faire depuis la seconde

Posté par
Tesla
re : question asymptote 20-11-16 à 21:04

pour calculer l'ordonnée du point A j'ai fais f(e -1) mais ca ne me donne pas e-1 /2 ...

Posté par
Tesla
re : question asymptote 20-11-16 à 21:05

j'ai fait e-1 /2 - 1 + ln (e-1)/ (e-1) + e-1 /2  mais ca me donne un truc bizarre

Posté par
ciocciu
re : question asymptote 20-11-16 à 21:10

Y''a plus simple puisque A appartient à la courbe .....maus aussi à la droite y=x/2

Posté par
Tesla
re : question asymptote 20-11-16 à 21:11

de plus pour tester j'ai voulu dériver le résultat soit 1 + lnx / x
j'ai fait sous forme u'v-uv' /v2

et je trouve - lnx / x2....
bref en gros je sais pas quand on doit dériver ou faire un tableau dans ce genre de cas...

Posté par
Tesla
re : question asymptote 20-11-16 à 21:12

donc si y  avait été égale a x-3 par exemple le point de coordonées aurait été

(e-1; e-1 - 3) c'est bien ca?

Posté par
ciocciu
re : question asymptote 20-11-16 à 21:14

f(x)-x/2 = (1+lnx)/x
Pas besoin de dériver
Fais un tableau de signe avec 1+ln x et x

Posté par
Tesla
re : question asymptote 20-11-16 à 21:16

Pour la suite de l'exercice ils demandent de prouver qu'il existe un point B et un seul, de la courbe C ou la tangente T à C est parallèle à Delta.

On est pas sorti de l'auberge, je ne sais plus faire..

Posté par
ciocciu
re : question asymptote 20-11-16 à 21:16

Tesla @ 20-11-2016 à 21:12

donc si y  avait été égale a x-3 par exemple le point de coordonées aurait été

(e-1; e-1 - 3) c'est bien ca?

Bin oui si l'équation de la droite était y=x-3 ca aurait fait ca comme ordonnée

Posté par
ciocciu
re : question asymptote 20-11-16 à 21:18

Quand est ce que 2 droite sont //     ?

Posté par
Tesla
re : question asymptote 20-11-16 à 21:23

je pensais faire une équation de tangente

Posté par
ciocciu
re : question asymptote 20-11-16 à 21:28

Oui va sûrement falloir
Mais réponds quand 2 droites sont elles //

Posté par
Tesla
re : question asymptote 20-11-16 à 21:38

euh je ne sais pas...faut trouver le coef directeur?
c'est 1/2 non? et ensuite je fais quoi?

Posté par
ciocciu
re : question asymptote 20-11-16 à 21:42

Oui très bien pour y=x/2 c'est 1/2
Et maintenant la  tangente c'est quoi son coefficient directeur?

Posté par
Tesla
re : question asymptote 20-11-16 à 21:44

f'(a) ?

Posté par
ciocciu
re : question asymptote 20-11-16 à 21:55

Très bien
Donc il faut trouver a tq f'(a)=1/2

Posté par
Tesla
re : question asymptote 20-11-16 à 22:02

ma dérivée c'est 1/2 - lnx/x2 = 1/2
ca ferait donc
-lnx/x2 =0

j'ai dérivé ca:  x/2 + [ (1+lnx)/x]

c'est bien ce qu'il fallait dériver?

Posté par
ciocciu
re : question asymptote 20-11-16 à 22:12

Bin oui i tu cherches la tangente à la courbe c'est bien f(x) qu'il faut dériver
Et oui ta dérivée est bonne
Et donc ca fait x=?

Posté par
Tesla
re : question asymptote 20-11-16 à 22:15

1?

Posté par
ciocciu
re : question asymptote 20-11-16 à 22:20

Bin oui
Tu n'as pas l'air convaincu?

Posté par
Tesla
re : question asymptote 21-11-16 à 16:23

si si mais c'était cette histoire de dérivée qui me chagrine...je ne sais pas quand on doit dériver ou non pour trouver la position de la courbe par rapport à la droite.

En tout cas merci à toi pour ton aide ( et a tout ceux qui m'ont aidé

Posté par
ciocciu
re : question asymptote 21-11-16 à 21:45

Bi n tu arrives à une expression...
Si tu peux la factoriser et faire un tableau de signes c'est gagné ... méthode sniper
Sinon tu étudies ton expression comme une fonction
Dérivée, tableau de variation et signe de la fonction
Méthode char d'assaut



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