Bonjour

En supposant que y n'est pas la fonction nulle , alors l'équation peut s'écrire :


On en déduit :

soit :
(avec C>-1)
c'est à dire :

ie :

soit :



Jord

Pour ce qui est de l'unicité , il suffit de dire que la fonction ln est une injection , ainsi on obtient bien l'implication :


et y(x) est unique


Jord

Bonjour

tu divise par y (non nul pouisque est censée être une exponentielle)



Tu intègres et tu multiplies par e



Est-ce cela ?

Attention, on a pas le droit de faire ce que vous faites nightmare et soucou, car on ne sait pas si y s'annule sur R.
Si vous voulez le faire, il faut d'abord montrer que y ne s'annule jamais sur R.
A+

Autre chose, vous utilisez l'exponentielle pour prouver ce que vous voulez, mais vous n'avez pas le droit puisque l'on pose justement que l'exponentielle est l'unique solution de cette équation pour f(0)=k=1

Oui mais pour vraiment faire une démonstration rigoureuse , il faudrait que laotze nous donnes plus de données .


jord

Salut, non ce n'est pas la peine, on peut s'en tirer ainsi, plus ou moins comme tu le fais, mais montrer d'abord que y ne s'annule pas, et ton premier post est bon (à condition de ne pas utiliser la notation exp mais plutôt le fait que ln admet une réciproque ln^-1)
A+

salut, j ai pense utiliser la methode d'Euler pour obtenir l'exponetielle?

Bonjour Jord!
Merci pour ta réponse!   

mais je n'arrive pas à comprendre (je suis lent à comprendre^^) certaines étapes du raisonnement: pourrais-tu m'expliquer comment tu passes de " ln |y(x)| = 1+C (C>-1) " à " |y(x)| = e^x+C "

J'aurais plutôt tendance à écrire "donc |y(x)| = e^1+C"...Je sais que c'est absurde mais j'ignore pourquoi.

Pourrais-tu m'éclairer?

Merci d'avance!
@+

C'est un erreur de ma part , ce n'est pas ln|y(x)|=1+C mais ln|y(x)|=x+C

La méthode d'euler est une approximation, même s'il est convergeant tu ne prouves pas grand chose.
Certains profs font çà, mais en général ils ajoutent que ce n'est pas rigoureux du tout même si ça te donne une approximation (aussi bonne que tu le souhaites)

Comme le précise otto , il faut montrer que ln admet une réciproque (donc qu'elle est bijective) et ainsi écrire :

et par la suite on démontre que ln^-1 est l'exponentielle


Jord

Le problème tu as fait disparaître la variable, de plus (constante)

Or la dérivée d'une constante ne peut pas être égale à la fonction de départ au coefficient k prés.

Olà!

Je vois que il y a une discussion compliquée sur ma question pendant que j'écrivais (je suis vraiment lent !)!

Merci à vous tous!

Oups autant pour moi je n'arrive plus à suivre

en fait pour trouver l'exponentielle je suggerais de montrer que les suites: un(x)=(1+x/n)^n
et vn(x)=(1-x/n)^(-n) sont adjacentes

et de montrer que f(x)=un(x) verfie bien lequa diff y'=y

Ou sinon on peut supposer que y est une autre fonction que l'exponentielle , et on peut étudier la fonction , montrer qu'elle est constante et qu'elle vaut 1 (c'est le même raisonnement que pour montrer que exp est unique)


jord

Nigthmare, c'est comme solution de
y'=y et y(0)=1 que l'exponentielle est introduite en terminale.


"
en fait pour trouver l'exponentielle je suggerais de montrer que les suites: un(x)=(1+x/n)^n
et vn(x)=(1-x/n)^(-n) sont adjacentes

et de montrer que f(x)=un(x) verfie bien lequa diff y'=y
"

Je trouve çà très dangeureux, et pas rigoureux.
Comme définis tu la limite des suites (un) et (vn)?
Comment montrer que la limite est bien dérivable et qu'elle vérifie l'équation différentielle.
Je suis sceptique.

Ma technique n'est pas bien otto ?

Nightmare:
Ce n'est pas qu'elle est pas bonne, c'est que cet exercice sert à introduire la fonction exponentielle, tu n'as donc jamais le droit de t'en servir ni d'y faire référence.
Le reste semble pas mal.
A+

ben je dis pas que ma methode est facile (elle etait la premiere epreuve du capes 2004) mais longue et rigoureuse

ben je dis pas que ma methode est facile (elle etait la premiere epreuve du capes 2004) mais longue et rigoureuse

il faut d abord utiliser l ineaglite de bernoulli:
pour tou n et tout reel x>-1 on a (1+x)^n>=1+n*x
(par reccurrence par exemple)

ensuite on montre que un est croissante pour n>|x|
et donc vn est decroissante

puis en prenat le rapport un(x)/vn(x)=(1-x²/n²)^n on montre que les suites converge la  meme limite

Oui je sais que c'est la première épreuve du Capes, mais justement Capes=bac+3 ...
En faisant çà, on montre uniquement la convergence simple de vn et un vers exp sur (-1,+oo)...

ensuite en posant f(x)=lim(un(x),n->+oo)
on montre que f(x+h)>=(1+h)f(x)

en remplacant h par -h on obtient:
f(x-h)>=(1-h)f(x)

puis en remplacant x par x+h) on obltient
f(x)>=(1-h)f(x+h)
c est a dire
pour h>0:
f(x)<=(f(x+h)-f(x))/h<=f(x)/(1-h)

et pour h>0
f(x)/(1-h)<=(f(x+h)-f(x))/h<=f(x)


on obient en faisant tendre h par 0 que f est deriavable de derive f

Enfin on montre la convergence, on sait pas vers quoi.

mais cela untilise que du baguage de terminale donc comme je le dis c est possible mais long et penible

tu appelles f(x)=lim un(x)
et tu l'appelle apres exp

Ah oui otto , je viens de comprendre ce que tu voulais me dire , je suis long à la détente , je pensais que l'exponentielle avait déja été étudiée , pas que l'exercice était pour l'introduire


Jord