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Question de logique
Bonjour,
Je suis face à un exercice qui me pose un peu de mal :
Soit E un ensemble muni de 2 lci notées respectivement * et °, vérifiant les hypothèses suivantes :
(1) La loi * possède un élément neutre noté e. La loi ° possède un élément neutre noté 
.
(2) Les 2 lois sont commutatives.
(3) Chacune des lois est distributive par rapport à l'autre.
(4) 
a
E, a*a' = et a°a' = e. a' est appelé le complément de a.
1) Donner un exemple d'ensemble E, et de mpos vérifiant ces hypothèses.
2)a) Démontrer avec soin la propriété suivante :
aE , a*a= a et a°a = a.
Pr la première, je pensais à Réunion et Intersection, mais je ne suis pas encore sûr.
La question qui me gène, c'est la 2)a). Le reste de l'exercice, je l'ai fait, mais les réponses et démonstrations en découlent de cette question justement.
J'ai déjà essayer de passer par l'absurde, mais aussi de montrer que c'est toujours vrai.
Quelqu'un pourrait il me mettre sur la voie ?
Merci 
Bonjour
effectivement , si tu prends pour E l'ensemble des parties d'un ensemble donné , avec union et intersection, il y a bien un neutre pour chaque loi (vide pour réunion,
pour intersection), il y a bien distributivité de l'une sur l'autre, elles sont toutes les deux commutatives, et le complément correspond au complémentaire au sens ensembliste du terme.
Pour la deuxième question,
a=a*e = a*(a ° a') = a*a ° a*a' = a*a ° = a*a
(en utilisant les neutres, la distributivité, les compléments ...)
je me rends compte que je n'ai pas mis les parenthèses : j'ai pris la même convention pour * que pour le produit dans IR
Eh, finalement, je viens de trouver quelque chose, quelqu'un pourrait me dire si le raisonnement est correcte ?
a°a = a°a a°a*e = a°a
Donc : a°a = a°a*e , or e = a°a'
a°a = a°a*a°a' , sachant que ° et * sont distributives l'une par rapport à l'autre , on a :
a°a = a°(a*a'), or a*a' =
a°a = a°
Donc, a°a = a.
En procédant de manière analogue j'ai l'autre égalité.
Voilà, et merci à tous ceux qui pourront me répondre.
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