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Question de morphisme
Bonjour,
Voilà, j'ai un devoir en temps libre à finir en algèbre et j'aimerais vous poser une petite question.
On me demande de montrer dans une question que la projection à gauche(notée p1) de (
2,+) est un morphisme de groupe , i.e
(x,y)
2
p1: (x,y)
x est un morphisme de (2,+) dans (,+) .
Ce que j'ai réussi à démontrer.
On me demande ensuite de montrer que si H est un sous groupe de (2,+), alors p1(H) est un sous de (,+).Et c'est sur ce point que porte ma question:Au lieu de montrer que p1(H) est un sous groupe par la manière "classique" (en montrant que p1(H)
et que (x,y)H; x-yH), peut on aussi dire que p1 est un morphisme bijectif ?
Je vous remercie d'avance pour vos précieuses réponses.
Bonjour Eeron
Tu auras du mal à prouver que cette application est bijective : ça ne l'est pas car elle n'est même pas injective.
Kaiser
Oui, désolé, je me suis aperçu quelques instants après le post que l'application n'était pas injective, mais comme je ne savais pas comment effacer ou modifier mon sujet, je n'ai pas pu le changer...Aussi avais-je prévu une autre question pour me rattrapper, mais vous avez été le plus rapide .^^
Mais en règle générale , si il existe un morphisme bijectif entre deux groupes, peut on dire que l'image du sous groupe de l'un est un sous groupe de l'autre?
Merci d'avance.
En fait, on n'a pas besoin d'avoir de bijection pour avoir de sous-groupes.
Plus généralement si H et G sont deux groupes et f un morphisme de groupes de H dans G alors l'image par f de tout sous-groupe de H est un sous-groupe de G.
De même l'image réciproque par f de tout sous-groupe de G est un sous-groupe de H.
En particulier, f(H) est un sous-groupe de G.
Kaiser
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