Bonjour, ceci est mon premier post sur ce forum, je suis étudiant en première année de license, je viens ici que bien très tard et ayant mes examens de rattrapage demain et quelques doutes trottant encore dans mon esprit je m'en remet à vous pour m'expliquez se que je n'arrive pas à appliquer en pratique.

Tout d'abord il y a certaines questions que je n'arrive tout bonnement pas à répondre, elle ce trouve très souvent à la fin des longues séries d'algèbre dans les applications linéaires, il s'agit des questions comme ( je vous donne toute la série pour que vous compreniez l'exercice et je met en gras ce qui me semble trop compliqué ^^' ) ...

On considère f : R3 -> R3 l'application linéaire dont la matrice dans la base canonique est :

    (4 −7 −4)
A = (1 −2 −1)
    (2 −3 −2)


1.
(a) Donner une base de ker(f).
(b) En déduire la dimension de Im(f), puis une base de Im(f).
(c) f est-elle injective ? surjective ? bijective ?
(d) Trouver un supplémentaire de Im(f) dans R3.
2. (a) Calculer le polynôme caractéristique de A.
(b) A est-elle diagonalisable ?
3. Soient u1 = (1, 0, 1), u2 = (4, 1, 2) et u3 = (3, 1,−1).
(a) Montrer que B = (u1, u2, u3) est une base de R3.
(b) Donner P la matrice de passage de la base canonique à B.
(c) Montrer que P est inversible et calculer P−1.
(d) Donner la matrice T de f dans la base B.
(e) Calculer T^n pour n >= 3.
(f) En déduire An.

Je sais sa fait beaucoup mais sa résume en général les soucis que je rencontre. Je ne demande pas de l'aide sans rien, je vous explique déjà se que j'aurais fais confronté à ces questions à l'examen, je vous serais reconnaissant de m'expliquer de quelle manière je me trompe ...

pour la question 1.(d) : J'aurais pris un vecteur de la base canonique qui ne soit pas CL des autres vecteur de Im(f) et si ils forment une base alors le vecteur est un supplémentaire. Si j'ai bon, puis je toujours traité ce genre de question de la même façon où y a t il des cas particuliers ?

Pour la question 2.(b) : J'aurais trouvé les valeurs propres puis cherché à montrer que ker(f- lambda*Id)≠0,  lambda représentant ici les valeurs propres. Puis si j'y arrive je pourrais en conclure qu'elle est diagonalisable, mais je pense manqué des étapes sur ce point. D'ailleurs concernant la suite de ce genre de question, souvent on est demandé de trouvé la matrice diagonale, dois je, avec une base faite des sous espaces propres, je la nommerais P, trouvé l'inverse de cette dernière et trouver la matrice diagonale D grâce à la formule : D=P^-1*A*P ?

Pour la question 3.(b) : J'ai jusque là toujours traité des questions où c'était d'une base à la base canonique et les matrice de passage représenter toujours la transverse de la matrice de base, je ne sais donc pas trop comment m'y prendre pour ces questions ci.

Pour la question 3.(d) : Je ne sais tout bêtement pas de quel matrice T il parle, dois je former une matrice tel que T=P^-1*B*P ?

Puis pour les questions qui suivent je n'ai jamais su traiter ce genre de question, trouver la puissance n-ième d'une matrice puis en déduire une autre ... Je ne sais simplement pas par où commencer.

Je m'en remet donc à vous pour m'expliquer tout cela en espérant qu'une âme charitable me fera don de son savoir car j'en ai vachement besoin :< ...

Bien à vous, un Auvernien.