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Question DM Similitude

Posté par
Happpy
13-04-12 à 04:44

Bonjour, j'ai un devoir maison à remettre pour bientôt, j'ai tout fait déjà, à l'exception des deux questions que je vais mettre ci-dessous.

------------------------------------------------------------------------------

Enoncé :
Soit u un nombre complexe et f la transformation d'écriture complexe : z' = u²z + u - 1

...

4) Déterminer les valeurs de u pour lesquelles f est un quart de tour direct et représenter graphiquement les centres de ces symétries.

5) Caractériser f lorsque u = 1 - i

------------------------------------------------------------------------------

Mes pistes :

4) Un quart de tour équivaut à pi/2 radian, ainsi on a u² = exp(i pi/2) = i
Je dois déterminer u tel que u² = i.

Je suis bloqué ensuite...

5) Si u = 1 - i on a z' = -2iz -i

Ensuite pour les caractéristiques, je pense qu'on demande de trouver si c'est une rotation, homothétie, etc...

Mais je suis bloqué aussi...



Voila, merci d'avance de m'aider.
Au Revoir.

Posté par
malou Webmaster
re : Question DM Similitude 13-04-12 à 08:37

Bonjour

pour résoudre u^2=e^{i\pi/2}
tu peux poser
u=re^{it} et même u=e^{it} car il est évident que le module r ne peut qu'être égal à 1

tu vas trouver tes deux valeurs de t

pour la 5)
similitude plane....tu cherches le point fixe...rapport et angle

Posté par
Happpy
re : Question DM Similitude 14-04-12 à 04:41

Re bonjour, alors pour la question 4, je suis vraiment bloqué....


Pour la question 5 j'ai
Point fixe : (-i)/(1+2i)

Rapport : 2

Angle : -pi/2 = 3pi/2

Merci d'avance.

Posté par
malou Webmaster
re : Question DM Similitude 14-04-12 à 10:22

alors, un point fixe, c'est pas un complexe....donc tu dois conclure "le point d'affixe..." et une affixe ne se donne pas sous la forme que tu donnes....multiplie par le conjugué de bas....

question 4
si tu poses u = e^(it)
alors u² = e^(2it)
et tu dis que ça vaut e^i(pi/2)

pour 2t=pi/2 + k2pi

et tu vas trouver tes deux valeurs de t

Posté par
Happpy
re : Question DM Similitude 14-04-12 à 17:08

Re bonjour, oui, faute bête car j'étais fatigué après les cours du matin.

Alors voila mes résultats :

4)

5)

Point fixe d'affixe (-2-i)/5

Rapport de 2

Angle de 3pi/2

Posté par
malou Webmaster
re : Question DM Similitude 14-04-12 à 17:13

oui, donc ensuite si on te demande une caractérisation géométrique, tu peux dire que c'est la composée de l'homothétie de centre le point fixe, de rapport 2 avec la rotation de même centre et d'angle 3pi/2

voilà !

Posté par
Happpy
re : Question DM Similitude 14-04-12 à 18:03

D'accord c'est noté^^

Sinon la question 4 me donne vraiment du mal... (-_-').....

Posté par
malou Webmaster
re : Question DM Similitude 14-04-12 à 18:08

à 10h22 je t'ai donné la solution

u = e^(ipi/4) ou u = e^(i5pi/4)

je sais que u² vaut toujours i
je sais que f est un quart de tour direct dans chaque cas

tu n'as plus qu'à remplacer u dans l'expression de f (dans les 2 cas)
et chercher le point invariant pour avoir le centre dans chaque cas

Posté par
Happpy
re : Question DM Similitude 14-04-12 à 18:31

Alors u² = e^(pi/2) = i

je pose u = e^(it)
alors u² = e^(2it) = e^(ipi/2)
Ainsi, u = e^(ipi/2/2)
soitu = e^(ipi/4) ?

Posté par
malou Webmaster
re : Question DM Similitude 14-04-12 à 18:33

non...pas complètement

je te signale que je te l'ai écrit plus haut...t'as lu ?

où est passé le k2pi

et quand tu divises par 2, cela fera pi/4 et pi/4+pi

Posté par
Happpy
re : Question DM Similitude 14-04-12 à 18:45

Ok donc
u = pi/4 + k2pi
ou u = pi/4 + pi + k2pi

Alors, pourquoi on rajoute pi ?
Le k2pi c'est pour le modulo je suppose...

Posté par
malou Webmaster
re : Question DM Similitude 14-04-12 à 18:47

Citation :
Alors, pourquoi on rajoute pi ?


car j'avais

Citation :
pour 2t=pi/2 + k2pi


et donc pour trouver t, je divise toute la ligne par 2

Posté par
Happpy
re : Question DM Similitude 14-04-12 à 20:05

Ah ok, ben là je pense avoir compris.

u^2 = e^(ipi/2)
Je pose u = e^(it)
alors u^2 = e^(2it) = e^(ipi/2)
Ainsi 2t = pi/2 + k2pi (2pi) <= modulo
alors t = pi/2/2 + kpi (2pi)
Soit t = pi/4 + kpi (2pi)

Alors, est-ce correcte?

Posté par
Happpy
re : Question DM Similitude 14-04-12 à 20:37

Donc si on reste dans le modulo 2pi ça fait bien pi/4 et 5pi/4.

J'attends confirmation pour recopier.

Posté par
Happpy
re : Question DM Similitude 14-04-12 à 21:02

Je m'excuse d'avance pour le double poste, je n'avais pas vu que je n'avais pas posté mes centres de symétrie.

------------

u = pi/4 ou u = 5pi/4 et u² = i

*** Si u = pi/4
z' = iz + pi/4 - 1 => z" = iz -3pi/4

Je cherche l'affixe du centre de symétrie :
z = iz -3pi/4 => z(1 - i) = -3pi/4
soit z = (-3pi)/(4 - 4i) = [(-3pi)*(4 + 4i)]/[(4 - 4i)(4 + 4i)] = -3/8*pi - 3/8 *ipi

*** Si u = 5pi/4
Je trouve comme centre de symétrie le point d'affixe : 1/8*pi + 1/8ipi

------------

Ensuite, je ne sais pas comment représenter pi dans un repère...

Posté par
malou Webmaster
re : Question DM Similitude 15-04-12 à 09:47

Citation :
Ainsi 2t = pi/2 + k2pi (2pi) <= modulo


quand moi, j'écris +k2pi, il est là mon modulo....ne pas en rajouter derrière...

modulo 2pi signifie +k2pi


Citation :
Donc si on reste dans le modulo 2pi ça fait bien pi/4 et 5pi/4


c'est ça

j'ai la "flemme" de vérifier tes points fixes...sur ton dessin, pi vaut environ 3,14....

voilà !

Posté par
Happpy
re : Question DM Similitude 15-04-12 à 23:41

Bon, d'accord..., merci pour l'aide, je vais vérifier mes résultats.

Au Revoir et merci encore !

Posté par
malou Webmaster
re : Question DM Similitude 16-04-12 à 09:10



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