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question niveau college sur des aires dans un triangle

Posté par Céline77 (invité) 27-05-05 à 12:37

Bonjour à toutes et à tous

Je cherche à Montrer que les aires des 6 triangles délimités par les médianes dans un triangle sont identiques au niveau 4ème.

Si vous pouviez m'aider ce serait cool!

Posté par esico (invité)re : question niveau college sur des aires dans un triangle 27-05-05 à 13:13

Tu utilises :
1) un schéma clair avec points ;
2) la formule du calcul de l'aire d'un triangle ;
3) la propriété de la position du centre de gravité sur la médiane.

Posté par
rene38
re : question niveau college sur des aires dans un triangle 27-05-05 à 13:13

Bonjour
Triangle ABC, G centre de gravité, hauteurs [AH] de ABC et [GK] de GBC, M milieu de [BC].
Thalès dans AHK : GK=\frac{1}{3}AH
Aire de GBM=Aire de GCM=\frac{1}{2}GK\frac{BC}{2}=\frac{1}{6}\times\frac{1}{2}BC\times{AH}=\frac{1}{6} aire de ABC
Idem pour les 4 autres triangles.

Posté par Céline77 (invité)re : question niveau college sur des aires dans un triangle 27-05-05 à 13:22

Je ne comprends pas pourquoi GK = 1/3 AH.
Peux-tu m'éclairer, stp?

Merci en tous cas de vos réponses à tous les deux

Posté par
stella
re : question niveau college sur des aires dans un triangle 27-05-05 à 14:30

Bonjour

Centre de gravité d'un triangle: c'est le point commun aux trois médianes d'un triangle (pour le placer il suffit de tracer deux médianes).

Il se trouve aux 2/3 de la longueur de chaque médiane à partir du sommet correspondant, et au 1/3 de la longueur de chaque médiane à partir du milieu du côté opposé à ce sommet.

Stella

Posté par
rene38
re : question niveau college sur des aires dans un triangle 27-05-05 à 16:09

Mea culpa
pourquoi GK = 1/3 AH : Thalès dans AHM :
G[AM], K[HM] et (GK)//(AH)
\frac{GK}{AH}=\frac{GM}{AM}=\frac{1}{3}

Posté par
siOk
re : question niveau college sur des aires dans un triangle 28-05-05 à 12:57

Bonjour


Une variante ... plus visuelle (faire une figure)


ABC le triangle. A', B', C' les milieux respectifs de [BC], [AC], [AB]. G le centre de gravité.


Aire(AGB') = Aire(GCB')
Pour les deux triangles, les hauteurs respectives issues de G sont confondues.
De plus, AB' = CB'
donc les deux triangles ont même aire.



De même
Aire(AGC') = aire(BA'G)   et    Aire(CGA') = Aire(A'GB)



Aire(AGB') = Aire(AGC')
Pour les deux triangles AA'C et AA'B, les hauteurs respectives issues de A sont confondues.
De plus, CA' = BA', donc aire(AA'C) = aire(AA'B)

donc Aire(CB'G) + Aire(AB'G) + Aire(CGA') = Aire(BGC') + Aire(AGC') + Aire(BGA')

en utilisant les égalités d'aires précedentes
2 Aire(AB'G) = 2 Aire(AGC')

donc Aire(AB'G) = Aire(AGC')



De même
on montre de même que:    Aire(CGB') = Aire(CGA')

ce qui achève la démonstration.







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