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Question ordre fonction exponentielle

Posté par
KoOtSiCk
04-04-18 à 16:40

Bonjour, j'ai une question qui me semble compliqué dans mon devoir et je ne sais pas du tout comment y répondre:

Démontrer que pour tout x supérieur ou égal à 0,  3/3e(x) < 5/5(e(x)+e(-x)) < 2/2e(x)

Merci d'avance pour votre réponse

Posté par
manu_du_40
re : Question ordre fonction exponentielle 04-04-18 à 16:43

Bonjour,

le résultat est nécessairement faux puisque le membre de gauche et le membre de droite de ton inégalité sont égaux.

\frac{3}{3e^x}=\frac{2}{2e^x}=\frac{1}{e^x}.

Es-tu sûr d'avoir recopié correctement l'énoncé ?

Posté par
KoOtSiCk
re : Question ordre fonction exponentielle 04-04-18 à 16:45

Oui j'ai fait une erreur pour le dernier, c'est 1/2e(x) et pas 2/2e(x), désolé

Posté par
manu_du_40
re : Question ordre fonction exponentielle 04-04-18 à 16:51

Donc, si j'ai bien compris,  tu dois prouver que \frac{3}{3e^x}<\frac{5}{5(e^x+e^{-x})}<\frac{1}{2e^x} ?

Mais l'énoncé est encore faux du coup puisque pour x=0, le membre de gauche vaut 1 et le membre de droite vaut 1/2.

Posté par
KoOtSiCk
re : Question ordre fonction exponentielle 04-04-18 à 16:56

Je m'en suis rendu compte aussi et je lui ait posé la question, c'est bien une faute de frappe du sujet, il faut en fait prouver que 1/e(x) < 1/(e(x)+e(-x)) < 1/2e(x)
Ca parait plus logique mais ca ne m'avance pas vraiment

Posté par
manu_du_40
re : Question ordre fonction exponentielle 04-04-18 à 17:01

Es-tu sûr que les inégalités sont dans le bon sens ?
Il y a toujours le même problème pour x=0...

Posté par
KoOtSiCk
re : Question ordre fonction exponentielle 04-04-18 à 17:05

Oui c'est vrai que normalement les inégalités devraient être inversés sinon l'exercice n'est pas faisable, soit c'est une autre faute de frappe soit j'ai mal recopié
Désolé !

Posté par
manu_du_40
re : Question ordre fonction exponentielle 04-04-18 à 17:09

Bon dans ce cas on va partir sur l'hypothétique énoncé suivant (qui a le mérite d'être correct) :

Montrer que \forall x \geq 0, \frac{1}{2e^x} \leq \frac{1}{e^x+e^{-x}} \leq \frac{1}{e^x}.

Peux-tu trouver une inégalité assez simple à obtenir sur les dénominateurs ?
(Indication : e^x est un nombre strictement positif quelque soit x réel)

Posté par
KoOtSiCk
re : Question ordre fonction exponentielle 04-04-18 à 17:14

Je dirais que

2e(x) > e(x)+e(-x) > e(x)

Et dans ce cas par inverse, l'ordre est inversé et l'affirmation serait démontrée non ?

Posté par
manu_du_40
re : Question ordre fonction exponentielle 04-04-18 à 17:15

Parfait !

Posté par
KoOtSiCk
re : Question ordre fonction exponentielle 04-04-18 à 17:16

Finalement c'était simple je me suis posé trop de questions pour rien, merci !

Posté par
manu_du_40
re : Question ordre fonction exponentielle 04-04-18 à 17:18

Par contre, penser à bien justifier votre inégalité.

e(x)<e(x)+e(-x) : évident puisque e(-x) est strictement positif.

e(x)+e(-x)  < 2e(x) : moins évident. As-tu une idée ?



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