salut

il n'y a pas de récurrence faible ou forte, il y le principe de récurrence où l'on démontre une propriété dépendant d'un entier n ... par récurrence !!!

tout le pb est de bien définir cette "hypothèse"/propriété qui peut inclure plusieurs rangs ...

3/ oui ... dans une certaine mesure ...

4/ dans R quel est le successeur d'un réel ?
      dans Z oui on peut aussi ...

mais tu as le tenps de voir cela quand tu maîtriseras bien le point 1/ ...

Bonjour,

1) Lorsque tu fais une récurrence forte, tu n'est pas obligé d'utiliser la propriété à chacun des rang inférieur à n, mais l'hypothèse de récurrence forte te permet de considérer que P(k) est vrai quelque soit k<n. C'est bien pratique, puisque ça te permet de choisir de choisir le ou les k<n dont tu as besoin pour mener à bien ta récurrence.
Par exemple, pour montrer par récurrence forte la propriété P(n),n2, "n admet une décomposition en produit de facteurs premiers", on raisonne ainsi pour traiter l'hérédité:

Soit n2, on suppose que P(k) est vrai 2kn , et on montre que P(n+1) est vrai:

Si n+1 est premier, alors P(n+1) est vrai
Si n+1 est composé, alors p,q [2;n] tels que n+1=pq   Et c'est là que tu applique l'hypothèse de récurrence forte (juste sur p et q, et non pas sur tout les termes de 2 à n), qui te dit que p et q admettent une décomposition en produit de facteurs premiers, donc P(n+1) aussi.
Ainsi P(n+1) est vrai.

2) Par contre, dans le cas d'une récurrence simple, par définition tu n'utilise toujours que P(n) (et donc tu dois l'utiliser) pour montrer que P(n+1) est vrai.

Et, de la même façon, dans le cas d'une récurrence double, tu est obliger d'utiliser P(n) et P(n+1) pour montrer que P(n+2) est vraie (tu l'utilise parfois pour les récurrence de Fibonacci).

3)Je ne connais personnellement aucune récurrence qui descend (après ça existe peut-être), car qu'en on y pense:

Si P(n) vraie implique P(n-1) vraie, alors quand tu fais la contraposée de cette proposition, tu obtiens:
Si P(n-1) fausse, alors P(n) fausse, c'est-à-dire: si P(n) fausse, alors P(n+1) fausse, ce qui ne sert qu'à prouver qu'une proposition est fausse n, et non sa véracité.

Au faite, même si c'est légèrement hors sujet, est-ce que tu sais faire une démonstration du principe de récurrence ? (oui, ça existe)...
J'espère avoir répondu au mieux à tes questions...
Bonne journée

Oui je sais faire la démonstration du principe de récurrence ! Très intéressant pour utiliser les différents raisonnements !

Merci à vous deux, bonne journée !!

Oui mais pour quoi faire ?

pour voir ce que tu crois savoir ...

Ok pas de problème :

Je vais y aller brièvement

On va prendre I un intervalle de N. On a I inclu dans N. On considère P(n) une propriété dépendant de n.

On suppose l'existence d'un élement E de I tel que P(E) est vraie.  On suppose également l'hérédité a partir du rang.

Comme en python xD on définit un ensemble E2 pour lequel P(n) est fausse et on raisonne par l'absurde (+ algèbre booléenne) pour aboutirnà la contradiction des 2 hypothèses du dessus. On en déduit que E2 est vide

"Ce que tu crois savoir" est quelque peu provocateur
Dites ce que vous voulez dire au lieu d'insinuer des affirmations...

te provoquer ... à me répondre !!!

je t'invite à lire et en particulier le §§ un principe de récurrence alternatif qui répond à ton point 3/ ou du moins l'éclaire ...

ainsi que ...

Bonsoir
Ciramor, tu as écrit :

Citation :
Si P(n) vraie implique P(n-1) vraie, alors quand tu fais la contraposée de cette proposition, tu obtiens:
Si P(n-1) fausse, alors P(n) fausse, c'est-à-dire: si P(n) fausse, alors P(n+1) fausse, ce qui ne sert qu'à prouver qu'une proposition est fausse n n₀, et non sa véracité.

Bonsoir co11,
Oui, c'est vrai que j'ai oublier de préciser que dans ce cas il faut que soit fausse pour que P(n) soit fausse n
Merci de me l'avoir fait remarquer et bonne soirée

Bonne soirée à toi aussi