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Question sur les p-sous-groupes
Hello,
J'ai un problème avec un exo d'algèbre, sur des notions très nouvelles pour moi.
On nous donne un groupe fini G, et deux sous-groupes H et P. On suppose que P est un p-sous-groupe de G, que p ne divise pas |H|, et que G = <H,P>.
On nous demande de montrer que |G| = |H|.|P| ; puis que G est le produit semi-direct de H et P.
Quelques questions :
1) Pour l'égalité entre les ordres, je ne vois pas comment procéder... Auriez-vous un début d'idée (mais pas de solution, j'veux pouvoir chercher un peu 
)
2) Pour le produit semi-direct, c'est toujours qqch qui est associé à un morphisme donné non ? Or ici, on doit donc le trouver seul ?..
Merci !
Soir, pour le 1 tu peux regarder la décomposition en nombre premier de l'ordre de G. Connias tu la notion de p-sylow?
Hello !
Pour le p-Sylow, le prof de TD nous l'a balancée en vitesse mais on l'a pas encore vue en cours. C'est que si on a un groupe d'ordre $p^mn$ avec m et n premiers entre eux, alors un groupe d'ordre $p^n$ est un p-Sylow de G ?
C'est bizarre moi j'aurai montré d'abord que G est un produit semi direct de P par H pour en déduire l'egalité des ordres...
Pour la décomposition en nombres premiers de |G| :
On sait que P est un p-sous-groupe de G, donc |P| = . Or l'ordre d'un sous-groupe divise l'ordre du groupe, donc
De plus, l'ordre de H divise aussi l'ordre de |G|, et aucun p n'apparaît dans la décomposition en facteurs premiers de |H|.
Donc |G| = .
Et il faut voir que le "autre chose", c'est 1, en utilisant le fait que G = <H,P> ?..
Ok, j'vais essayer d'y réfléchir...
Oui, effectivement, H est distingué ! (oubli de ma part !)
Et sinon, par rapport à ta remarque précédente, dès qu'on a H [produit semi-direct] K = G, on peut en déduire facilement une égalité de cardinaux, ou ... ? (la question est sans doute stupide, mais là encore, ce sont des notions ultra fraîches et pas encore digérées 
)
Oui en fait ici les deux propriétés sont de difficulté égales et oui la première inplique la deuxième mais la seconde implique aussi trivialement la première.
En fait j'avais supposé implicitement H distingué...d'où ma question de 23:47, si l'on suppose H distingué il n'est vraiment pas difficile de montrer que l'on a un produit semi direct en examinant l'intersection de H et P
Donc si on a un produit semi-direct, c'est qu'on a en particulier une intersection triviale pour H et P, qu'on a H distingué, et que G = H.P. Dans ces conditions, tout élément de G s'écrit de façon unique comme produit d'éléments de H et P, donc on a immédiatement |G| = |H|.|P| ?
Mais qu'on cherche à montrer l'une ou l'autre des propriétés, il faut de toute manière montrer dans les deux cas que l'intersection de H et de P est réduite à l'élément neutre, je pense... Et pour le moment, je ne vois pas.
Mais je vais chercher demain, lorsque je serai frais et dispo ! Je reviendrai en cas de souci. Merci à toi, Rodrigo, et bonne nuit ! (pense à dormir aussi hein )
Ah ben si, si, je vois ! Si on a un x non nul dans , alors :
- d'une part, x est dans P, donc l'ordre de x est une puissance de p.
- d'autre part, x est dans H. On aurait donc un élément d'ordre une puissance de p dans H. Cela contredit le fait que p ne divise pas |H|.
Donc x est l'élément neutre.
Nan ?
Bonne nuit !
Re-bonjour tout le monde,
J'ai quelques questions supplémentaires par rapport à la suite du problème... je rappelle les hypothèses :
Soit un groupe fini G, et deux sous-groupes H et P. On suppose que H est normal dans G ; que P est un p-sous-groupe de G, que p ne divise pas |H|, et que G = <H,P>.
Questions :
1) Montrer que Q est un ss-groupe de H.
2) Montrer que Q est normal dans G.
3) Montrer que les éléments de H/Q commutent avec ceux de PQ/Q.
La question 1 ne pose aucun problème, par contre je n'ai pas trouvé d'argument valable pour la 2.
Mais c'est bien la 3 qui m'inquiète le plus, dans la mesure où on nous demande de montrer que deux trucs qui appartiennent à des groupes différents commutent. Déjà ça, j'ai du mal à saisir, puisque c'est un peu comme si on définissait une loi de groupe marchant sur la réunion des deux groupes...
J'ai essayé de prendre une classe hQ de H/Q, une classe pqQ de PQ/Q, et de montrer que ça "commutait".
Mais on arrive sur (hQ)(pqQ) = Qhp ; et (pqQ)(hQ) = Qph. Ca ne "commute" donc pas de manière évidente, et je ne sais même pas si c'est bien cela qu'il faut faire...
Une âme charitable pour me mettre sur la piste ?..
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