Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Question / théorème de dérivation des fonctions composées
Bonjour, 
En cherchant à comprendre la dérivée de l'exponentielle, j'ai trouvé le théorème de dérivation des fonctions composées (voir images attachées ci-dessous).
En appliquant ce théorème, à titre personnel je trouve une troisième formule, qui ne correspond pas à la dérivée de l'exponentielle (image avec les parenthèses en rouge plus bas).
En essayant de creuser ce sujet, j'ai trouvé des explications un peu ''tautologiques'', c'est à dire que j'ai vu à la fois :
(e(u))' = u'.e(u) démontré par (e(x))' = e(x)
(e(x))' = e(x) démontré par (e(u))' = u'.e(u)
D'autre part, d'un point de vue géométrique, en termes de tangente à la courbe, je ne visualise pas ce que signifie (e(x))' = e(x) .
Bref, c'est un peu l'impasse en ce qui me concerne.
Si quelqu'un pouvait m'aider à comprendre la démonstration de (e(u))' = u'.e(u) et à comprendre la signification géométique de (e(x))' = e(x) , je l'en remercie par avance.
Merci à toutes les bonnes réponses 
§ § § § § § § § § § § § § § § §
Formules :
salut
peut-être écrire la variable, ce qui permet de mieux voir :
car sinon je ne comprends pas ces parenthèses autour de x (même si "x est bien une fonction" : la fonction identité :
sinon on peut aussi utiliser la notation fonctionnelle et non pas exponentielle : et alors on peut écrire
d'ailleurs et plus précisément la notation de gauche est une convention pour signifier :
(ce qui est bien une égalité de fonctions
enfin pour ce qui est de l'interprétation géométrique il suffit de se rappeler que f'(x) est un nombre qui est ... (voir cours de première)
Bonsoir
Bonsoir
gof(x)= g( f(x))
ici f(x)=u(x) et g(x) =ex
vous donc gof(x)= g( f(x))=eu(x)
Ma question est plus loin, dans la dérivée de gof(x) :
(gof(x))' = dg/df x df/dx
(gof(x))' = dg(f)/df x f'(x)
(gof(x))' = (g(f))' x f'(x)
Appliqué à eu(x), cela donne selon moi :
(eu(x))' = (eu(x))' x u'(x)
Or cette égalité est fausse car le terme (eu(x))' est à la fois à gauche et à droite de l'égalité.
Mais je ne vois pas où est mon erreur, d'où mon post sur ce forum
Bonsoir,
La formule générale de dérivation d'une fonction composée est :
(gof(x))' = (g(f(x))' = g'(f(x)).f'(x)
Ici g(x) = ex et f(x) = u(x)
Donc g'(x) = ex, donc g'(u(x)) = eu(x), et f'(x) = u'(x)
Donc (eu(x))' = eu(x).u'(x)
Bonsoir,
Bonjour
La formule générale de dérivation d'une fonction composée est :
(gof(x))' = (g(f(x))' = g'(f(x)).f'(x)
Ici g(x) = ex et f(x) = u(x)
Donc g'(x) = ex,
donc g'(u(x)) = eu(x), et f'(x) = u'(x)
Donc (eu(x))' = eu(x).u'(x)
Quand on cherche la démonstration de (ex)' = ex, on tombe sur le 'théorème de dérivation des fonctions composées". Quand on cherche le passage de ce théorème à (ex)' = ex, on tombe sans démonstration sur le résultat (eu(x))' = u(x)'.eu(x) alors que l'application stricte de ce théorème donne (eu(x))' = u(x)'.(eu(x))'
==> Selon ma compréhension, la démonstration n'est pas faite, mais je dois rater quelque chose.
Quand on cherche la démonstration de (ex)' = ex
Si vous en trouvez une, il faut donner un lien, parce que ce que vous écrivez est la définition d'une exponentielle, et une définition ne se démontre pas.
Proposition 1 :
(ex)' = ex est un cas particulier de (eu(x))' = u(x)'.eu(x)
Proposition 2 :
(eu(x))' = u(x)'.eu(x) est démontré par le "théorème de dérivation des fonctions composées" (gof(x))' = (g(f))' . f'(x)
Proposition 3 :
(gof(x))' = (g(f))' . f'(x) avec g(x) = ex et f(x) = u(x) donne (eu(x))' = u(x)'.(eu(x))' mais en fait dans le cas de l'exponantielle cela donne (eu(x))' = u(x)'.(eu(x)) magie magie
A ce stade je me dis que probablement j'applique mal le théorème ... ?
Quand on cherche la démonstration de (ex)' = ex
Si vous en trouvez une, il faut donner un lien, parce que ce que vous écrivez est la définition d'une exponentielle, et une définition ne se démontre pas.
Oui d'accord
C'est une définition, pas une démonstration.
Je croyais avoir compris que (ex)' = ex était un cas particulier de (eu(x))' = u(x)'.eu(x) , mais en réalité il s'agit d'une définition qui permet de démonter (eu(x))' = u(x)'.eu(x) à partir du théorème de dérivation des fonctions composées...
D'accord... Merci !
La démonstration (eu(x))' = u(x)'.(eu(x))' --> (eu(x))' = u(x)'.(eu(x)) reste peu convaicante pour une débutante.
On part d'une égalité fausse (eu(x))' = u(x)'.(eu(x))' avec le même terme (eu(x))' à gauche et à droite de l'égalité, puis on applique la définition de l'exponentielle (eu(x))' = u(x)'.eu(x) seulement au terme à droite de l'égalité.
Bonjour,
Peut-être qu'en plaçant les "prim" au bon endroit, ce sera plus clair
Exemple : (gof)'(x) = g'(f(x)) 
f'(x).
On part d'une égalité fausse (eu(x))' = u(x)'.(eu(x))'
C'est vous qui l'écrivez "faussement" :
Comme déjà dit (écrit "à plat") :
Le deuxième ' porte sur l'exponentielle pas sur eu(x)
Bonjour gts2,
En fait cette écriture avec le "prim" derrière le x ne me plait pas :
.
Je préfère (exp o u)'(x)
OK, mais autant c'est facile à droite autant du côté de la dérivée de eu(x), sans utiliser la composition o, ni la "mise à plat", j'ai du mal.
Bonjour,
Voici les réponses qui m'ont sortie de mon impasse
I. (ex)' = ex est la définition de l'exponentielle.
Cela explique l'aspect de la courbe de l'exponentielle.
II. La bonne écriture de l'application du théorème de la dérivation de fonctions composées est la suivante :
Pour moi l'exponentielle c'était surtout la réciproque du logarithme népérien "naturel".
Merci à toutes les réponses.
Bonne semaine 
Bonjour à tous.
Si tu prends comme définition de l'exponentielle "la réciproque du logarithme naturel", en effet il faut démontrer que .
Voilà une preuve:
On a .
En dérivant les deux membres on trouve
Camélia : et comment on montre que la dérivée de ln x est 1/x ? 
car maintenant on voit l'exponentielle (en première) avant le logarithme (même si la dérivée d'une fonction composée n'est vue qu'en terminale
Gorbach : ce que j'ai mis en rouge n'est qu'une convention d'écriture car c'est très mal écrit : je te l'ai expliqué dans mon premier post ... mais tu sembles ne pas l'avoir pris en compte ... et ce que reprend Sylvieg dan ses msg de 9h34 et 9h42 ...
Annuler
connectez vous