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Questions d'ordre

Posté par
puisea Posteur d'énigmes 05-08-07 à 13:50

Bonjour, je suis entrain de travailler un peu de maths en parcourant un recueil de questions de cours, et j'ai quelques questions.

1. L'ensemble \Large\mathcal{B}(E) est ordonné par la relation \Large\subset. On considère une famille \Large (A_i)_{1\le i\le n} d'éléments de \Large\mathcal{B}(E).

Seulement aucune précision sur ce qu'est l'ensemble \Large\mathcal{B}(E), et je ne vois pas trop ce que cela pourrait être... une idée ? (pour info, le B est en lettre gothique, comme l'est le S pour les groupes symétriques)

1. a. Cette famille admet-elle un maximum ?
1. b. Cette famille admet-elle une borne supérieure ? une borne inférieure ?

Autre question :

3. L'ensemble \Large\mathbb{N} est ordonné par la relation \Large |. On considère une famille \Large A=(n_i)_{1\le i\le N} d'entiers naturels.

3. a. Représenter graphiquement la famille A=(3,4,6,12,16,20,21,22) ordonnée par |.

Je ne vois pas ce qu'il demande par représentation graphique.

3. b. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que cette famille admette un plus grand élément ? un plus petit élément ?

3. c. Cette famille admet-elle une borne sumérieure ? inférieure ?

Bref, là je vois pas trop sur quoi raisonner pour répondre à ces questions... Je suppose que par la relation d'ordre |, la famille A est différente, mais je ne vois pas comment obtenir la famille A ordonnée par |.

PS / je cherche un exemple de partie non vide et minorée de \mathbb{Q} n'admettant pas de plus petit élément. Une idée ?

Merci d'avance.

Posté par
romure : Questions d'ordre 05-08-07 à 14:01

Salut,

B(E) en lettre gothiques, c est comme \mathcal{P}(E), c'est l'ensemble des parties de E.

Posté par
romure : Questions d'ordre 05-08-07 à 14:04

Pour le PS: je crois que tu peux considérer la partie rationnelle: \{x \in \mathbb{Q}:\ x^2 \geq 2\}

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Questions d'ordre 05-08-07 à 14:10

Salut, romu.

L'ensemble des parties de E me semble en effet pas mal. Donc c'est bon pour ces questions, merci.

Je suis d'accord pour le PS. Une idée pour la démo ?

Posté par
romure : Questions d'ordre 05-08-07 à 14:13

Citation :
Je ne vois pas ce qu'il demande par représentation graphique.


Je pense qu'il demande un diagramme de Hasse () de la famille la famille A=(3,4,6,12,16,20,21,22) ordonnée par |.

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Questions d'ordre 05-08-07 à 14:17

Je ne connaissais pas ces diagrammes Merci.

Posté par
romure : Questions d'ordre 05-08-07 à 14:23

Pour le PS on a traité le cas analogue: "\{x\in \mathbb{Q}:\ x^2 < 2\} n'a pas de borne supérieure dans \mathbb{Q} dans ce post: borne supérieure dans Q.

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Questions d'ordre 05-08-07 à 14:32

Merci pour le lien romu, mais il me semble que ca utilise des notions de Spé avec par exemple la question de densité.

Pour ce qui est de démontrer que \{x\in%20\mathbb{Q}:\%20x^2%20%3C%202\} n'a pas de borne supérieure dans \mathbb{Q}, j'ai une démonstration plus calculatoire qui est dans mon cours, mais je ne vois aps vraiment comment adapter ce résultat au cas de \{x\in%20\mathbb{Q}:\%20x^2>2\}.

Posté par
romure : Questions d'ordre 05-08-07 à 16:53

normalement il ne devrait pas y avoir trop de problèmes pour l'adaptation de ta preuve, tu peux la poster?

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Questions d'ordre 05-08-07 à 17:12

Voila :

A=\{r\in\mathbb{Q}:r^2<2\}

Soit r\in A et r > 0,

Il existe p et q deux entiers naturels non nuls tels que r = p / q, et comme r appartient à a, on a p² < 2q².

Comme p² et 2q² sont entiers, p² + 1 \le 2q²

Or pour tout entier naturel non nul n on a : n² \ge n > 0

Donc (1+\frac{1}{n})^2=1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}\le1+\frac{3}{n}

et pour tout n\ge 3p^2,

(1+\frac{1}{n})^2\le 1+\frac{1}{p^2}

Donc (\frac{n+1}{n}p)^2\le p^2+1\le 2q^2

donc (\frac{n+1}{n}r)^2\le 2

Comme \frac{n+1}{n}r\in A, alors (\frac{n+1}{n}r)^2< 2

Donc \{{r<\frac{n+1}{n}r\\ \frac{n+1}{n}r\in A

Posté par
Camélia Correcteurre : Questions d'ordre 05-08-07 à 17:22

Bonjour Pierre

Soit B={rQ|r2>2}
On prend r=p/q, donc p2>2q2, donc p2-12q2

A partir de là tu adaptes ta démonstration pour trouver un entier n tel que (n-1)r/n soit dans A.

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Questions d'ordre 05-08-07 à 17:24

Bonjour Camélia,

Je cherche, je cherche

Posté par
Camélia Correcteurre : Questions d'ordre 05-08-07 à 17:27

Montre qu'il existe n tel que

\(1-\frac{1}{n})^2\geq 1-\frac{1}{p^2}{

Là j'abanodonne l'ile... A demain!

Posté par
romure : Questions d'ordre 05-08-07 à 17:38

Bon pour ma part, suite aux conseils de Camélia, j'ai fini d'adapter la démo, si t'as un souci reposte

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Questions d'ordre 05-08-07 à 17:41

Merci Camélia et romu

J'ai réussi

@+

Posté par
karimre : Questions d'ordre 05-08-07 à 19:00

je tente de répondre aux questions et j'espère qu'on me corrigera :
1-a/ cette famille admet un maximum car E les majore
B/ la famille des Ai étant finie elle admet forcément une borne supérieur. Quant à la borne inférieur c'est l'ensemble vide.
3-b/ la condition nécessaire et suffisante pour que A admette un plus grand élément est que les éléments de A divisent cet élément. Et pour qu'il admette une borne inférieure est que les éléments de A soient son multiple
3-c/Finalement cette famille étant finie n'admet ni borne sup ni borne inf !

Qu'en pensez-vous ?

Posté par
romure : Questions d'ordre 05-08-07 à 19:05

Citation :
1-a/ cette famille admet un maximum car E les majore


Cette famille est majorée, d'accord, mais elle n'a pas forcément de borne supérieure pour autant.

prends E=\mathbb{R}, et A_i = ]i,i=1[, pour i \leq n. Cette famille n'a pas de plus grand élément au sens de l'inclusion (ni de plus petit élément).

Posté par
romure : Questions d'ordre 05-08-07 à 19:06

pardon je voulais dire: A_i = ]i,i+1[, pour i \leq n.

Posté par
romure : Questions d'ordre 05-08-07 à 19:15

pardon, (décidément) je voulais dire qu'elle n'a pas de plus grand élément (et non borne supérieure).

pour la B) je pense que la borne inférieure est \bigcap_{i\leq n} A_i, et la borne supérieure est \bigcup_{i\leq n} A_i.

Posté par
karimre : Questions d'ordre 05-08-07 à 19:15

ok merci Romu, mais sinon pour les autres questions c'est correct ?

Posté par
romure : Questions d'ordre 05-08-07 à 19:21

pour la 3b) je pense que tu n'as pas répondu à la question.
Je pense que ce serait plutôt:

La CNS pour que A admette un plus grand élément est qu'il existe un élément de A qui soit multiple de tous les autres éléments de A, ie ppcm(A) \in A.

La CNS pour que A admette un plus petit élément est qu'il existe un élément de A qui soit diviseur de tous les autres éléments de A, ie pgcd(A) \in A.

Posté par
romure : Questions d'ordre 05-08-07 à 19:22

pour la 3c), A a une borne sup: son ppcm,  et une borne inf: son pgcd.

Posté par
romure : Questions d'ordre 05-08-07 à 19:27

au sujet de la 3c), pour la culture, tu peux toujours consulter l'article de wiki sur les treillis:


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