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Questions sur les applications affines

Posté par nonoparadox (invité) 13-07-05 à 19:21

Bonjour

j'aurais voulu savoir quelles sont les propriétés d'une application affine du plan dans lui-même...
Je sais qu'une application affine conserve les barycentres , c'est une propriété caractéristique des applications affines.
Mais est ce que toutes les applications affines conservent :
- l'alignement
-le parallélisme
-l'orthogonalité
-les angles orientés ?
Y a t il autre chose qu'une application affine conserve toujours ?

Merci beaucoup pour vos réponses !!

Posté par nonoparadox (invité)re : Questions sur les applications affines 13-07-05 à 20:09

Pour être plus précis , ce sont les points suivants qui pourraient être susceptibles d'être conservés :
- les rapports de longueur ?
- les intersections et points de contacts?
- l'image d'une droite est une droite, d'un  cercle est un cercle, etc.

Voilà .
Merci encore !

Posté par majid52 (invité)re : Questions sur les applications affines 13-07-05 à 20:45

Bonjour;je suis nouveau sur le site puis-je intervenir:
une application affine du plan dans lui-m^me ne conserve pas l'orthogonalité (ni les angles orientés ou non)tu n'a qu'à prendre l'exemple d'une projection et puis quand tu dis que l'image d'un cercle est un cercle cela ne cacherait-il pas une certaine consevation de la distance ? à mon avis il faut distinguer deux types de propriétés: affines et métriques ce sont les 1éres qui sont succeptibles de se conserver par une application affine.

Posté par
jeroM
re : Questions sur les applications affines 13-07-05 à 23:04

Bonjour, je suis d'accord avec majid52, même si la notion d'angle orienté nécessite plutot une structure euclidienne (et du coup on a bien une métrique), donc en résumé pas de conservation des angles orientés.
Pour l'alignement et le paralélisme c'est OK.
Les applications affines de base sont les applications constantes, les translations, les homothéties (et donc symétries centrales) et les projections.
Autrement, je ne suis pas sur qu'il y ait une notion de distance dans un espace affine "pur". On doit en plus donner une structure euclidienne (forme bilinéaire définie positive).

Posté par aicko (invité)affine 14-07-05 à 08:59

soit E et E' deux espaces affines et \vec{E} et \vec{E'} leur espace vectoriel associé
une apllication f:EE' est affine si il existe application linéaire de E dans E' telle que pour tout M,N de E  \vec{f(M)f(N)}=(\vec{MN})

une apllication affine conserve le barycentre donc l'alignement , le parallelisme, toute partie convexe de E

par contre elle ne conserve pas forcement les longueurs (sauf isometrie affine)ni les rapports(sauf similitudes affines)
ni les angles orientés ou angles geometriques

comme il a été précisé précédemment il faudrait munir l'espace affine E d'une structure euclidienne, c'est a dire munir l'espace vectoriel associé \vec{E} d'un produit scalaire i.e d'une forme bilineaire symetrique definie positive
sauf erreur ou oubli..........

Posté par aicko (invité)petite rectification.. 14-07-05 à 09:03

application linéaire de \vec{E} dans \vec{E'}

Posté par nonoparadox (invité)re : Questions sur les applications affines 14-07-05 à 10:51

Merci pour toutes vos réponses.
Donc , si j'ai bien compris, barycentre , alignement, parallélisme sont conservés... mais ça ne veut pas dire qu'une droite est transformée nécessairement, en une droite qui lui est parallèle ...c'est ça ?
Par contre si tel est le cas a priori, l'orthogonalité sera aussi conservée, non ? (sous réserve que l'espace soit euclidien...)

Et sinon, les intersections et points de contacts sont toujours conservés, non ? L'image du point d'intersection de deux ensembles sera logiquement le point d'intersection des images... je me trompe ?

Merci beaucoup !!!!

Posté par
rene38
re : Questions sur les applications affines 14-07-05 à 17:52

Bonjour
Il me semble trouver une contradiction entre :
"alignement, parallélisme sont conservés"
et
"ça ne veut pas dire qu'une droite est transformée nécessairement, en une droite qui lui est parallèle"

Posté par nonoparadox (invité)re : Questions sur les applications affines 14-07-05 à 17:59

Le parallélisme est  conservé, ça veut dire que deux droites parallèles sont transformées en deux droites parallèles....
Mais ce n'est pas obligé que l'image d'une droite donnée lui soit parallèle , si ?

Par exemple, une rotation transforme une droite en une droite qui ne lui est pas parallèle, et pourtant deux droites parallèles vont se transformer en deux droites parallèles....

Je dis n'importe quoi ou pas ? Je sais plus trop ....

Posté par
rene38
re : Questions sur les applications affines 14-07-05 à 23:43

nonoparadox > Je dis n'importe quoi ou pas ?
NON, c'est moi qui écris n'importe quoi ...

Posté par nonoparadox (invité)re : Questions sur les applications affines 14-07-05 à 23:57

LOL ... pas grave !



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