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Racine carrée de matrice
Bonjour j'aurais besoin d'aide svp , sur cet exercices de maths expertes :
Racine carrée de matrice
Partie A : Étude de quelques exemples
1. Dans cette question, on note A la matrice ( −26 −21
70 51 ) et on considère la matrice B=( −2 −3
10 9 ).
a. Montrer que B ^2 =A
b. Montrer que ( −38. −21
70 39),
(38 21
−70 −39) et
( 2 3
−10 −9 ) sont également des racines carrées de A.
J'ai réussi cette partie !
Partie B : Cas d'une matrice diagonale
Dans cette partie, on considère deux réels x et y positifs et distincts et on note D=( x 0
0 y).
1. Montrer que ( racx. 0
0. rac y )
est une racine carrée de la matrice D.
2. On cherche à déterminer les autres racines carrées de D.
On suppose donc qu'il existe une matrice R=( a c
b d ) telle que R^2=D.
a. Montrer que déterminer R revient à résoudre le système d'équations ( énoncé ci-joint )
b. On souhaite montrer que b et c sont nuls.
On raisonne par l'absurde en supposant que b ou c est non nul. Justifier qu'on a alors a=−d puis aboutir à une contradiction.
jusqu'ici ça va
c. Conclure sur l'expression des racines carrées de la matrice D.
là ça commence à coincer je ne sis pas si c'est bon mais j'ai mis
(racx 0 ou alors ( -rac x 0
0 rac y ) 0. -rac y )
d. Que se passe‑t‑il si on ne suppose pas les réels x et y distincts ? Je pense que cela donne alors que a=-d mis je n'arrive ps à répondre à la question
Partie C : Cas d'une matrice diagonalisable
Soient C une matrice d'ordre n admettant une racine carrée R et P une matrice carrée d'ordre n inversible.
1. Montrer que PRP^-1
est une racine carrée de la matrice PCP ^1
ça c'est bon
2. On note dans la suite la matrice C=( -21 -15
50. 34).
a. Soit P la matrice (2. 1
5. 3)
Justifier que P est inversible et calculer P^-1 . J'ai calculé le déterminant qui est pas égal à 0 donc elle est inversible puis j'ai déterminé l'inverse .
b. Montrer que C=P*( 4 0 *P ^-1
0 9 ) ça c'est bon
c. Déterminer les racines carrées de la matrice ( 4 0
0. 9 )
à partir de là je comprend pas du tout !
d. En déduire les racines carrées de la matrice C.
Merci beaucoup !
Bonsoir,
Je réponds pour B)2)c) :
Calcule le carré de et cherche quand on obtient
En général, il y a 4 matrices solutions.
Tu n'as pas recopié le système dont il est question dans B)2)a).
On peut écrire les matrices en utilisant le bouton "aide à l'écriture Latex" sous la zone de saisie :
C'est le 3ème bouton orange à partir de la droite[b]
Ne pas oublier d'utiliser le bouton "Aperçu" avant de poster.
Partie B
Question 2.c
ou
ou
ou
Question 2.d
Si x et y ne sont pas distincts ( i.e. x = y )
alors:
et :
ou
ou
ou
Partie C
Question 2.c
il suffit de reprendre les résultats de la partie B question 2.c et de les appliquer à la matrice:
Tu obtiens donc 4 racines possibles pour cette matrice. A toi de les calculer.
On notera ces racines.
Question 2.d
D'après la question C.2.a, les racines de
sont les 4 matrices qu'il te faut calculer aussi.
Merci beaucoup c'est plus clair !
Cependant je n'arrive pas à comprendre la présence es signes - devant les racines .
Vous trouverez ci-jont l'ennoncé de la question B)a)
Pouvez-vous également m'éclairer sur la partie C svp
Merci d'avance !
Cependant je n'arrive pas à comprendre la présence des signes - devant les racines .
Je ne vois pas ce que tu ne comprends pas:
Pouvez-vous également m'éclairer sur la partie C svp
Je t'ai répondu sur cette partie également
Ok ! donc si j'ai bien compris cela donne ça non ?
oui, ce sont bien les racines de
Bonjour,
@Dosto,
La bienséance voudrait que l'on ne soit pas plusieurs intervenants sur un sujet de terminale...
De plus, le site n'est pas un distributeur de réponses toutes faites.
Voir les deux derniers paragraphes de "Un rappel des règles plus particulières pour ceux qui désirent apporter de l'aide" dans 
A LIRE AVANT DE POSTER OU DE RÉPONDRE, MERCI
@henry5 et Dosto,
Pour 2)d), je vous propose de calculer le carré de la matrice
@henry5,
Pour les moins devant les racines carrées, je réponds avec les cas numériques 4 et 9 :
4 = 2 et -4 = -2
9 = 3 et -9 = -3
Bonjour en calculant le carré de la matrice que vous me proposez je trouve
Cependant dans l'exo on me propose cette matrice ( ci-joint )pour m'aider je n'arrive ps à comprendre le rapport avec l'exo puisque b et c ne sont pas nuls
Ou alors si x et y non distincts a=-d mais je n'arrive pas à comprendre que ce soit dans votre exemple ou celui de l'énoncé pourquoi ce n'est pas sous la forme de R ( cad avec b et c nuls )
S'ils ne sont pas distincts, les formes trouvées dans le cas distincts restent valables ; mais ce ne sont plus les seules ...
Pour les deux matrices proposées :
A quoi est égal le carré de la première ?
Reprends le système dans le cas où y = x.
Remplace y par x. Tu ne peux plus démontrer b = c = 0.
Par contre, tu peux trouver une relation entre a et d dans le cas où b ou c n'est pas nul.
Sylvieg
le carrée de la première est égal à la deuxième matrice mais je n'arrive pas à en tirer une conclusion
La première conclusion avec l'exemple de l'énoncé est que l'on peut avoir b et c non nuls quand x = y.
Je ne sais pas si il est demandé quelque chose de plus approfondi.
Si oui, utilise mon message de 11h14.
Je ne vais plus être disponible avant ce soir.
en remplaçant x par y j'obtient que a^2 =d^2
donc a=d
ou -a=d
ou -d=a
non ?
Oui, regarde a = -d.
Je quitte. A ce soir.
Ca marche j'attendrai vote réponse merci!
Mais du coup a=-d c'est la forme qui nous est donnée ans l'énoncé que devrais-je en conclure ?
Ok merci !
Mais je comprend pas la justification quel est le lien entre a&d et b&c pourquoi ils peuvent ne pas être nul , c'est visible dans les matrices mais littéralement je vois pas trop
Bonjour,
@Dosto,
La bienséance voudrait que l'on ne soit pas plusieurs intervenants sur un sujet de terminale...
De plus, le site n'est pas un distributeur de réponses toutes faites.
Voir les deux derniers paragraphes de "Un rappel des règles plus particulières pour ceux qui désirent apporter de l'aide" dans
A LIRE AVANT DE POSTER OU DE RÉPONDRE, MERCI
Bonjour,
Pour les règles de bienséance:
1) Lorsque j'ai commencé à rédiger mon aide, votre réponse n'était pas encore sur le site.
D'autre part, un forum est un endroit participatif. Toute aide est la bienvenue si tant est qu'elle se fasse
- dans les règles de politesse, ce qui est le cas, à moins que vous me prouviez le contraire
- (je cite) "d'une manière à de ne pas perturber le demandeur". Ce qui, au vu des remerciements de ce dernier, n'a pas l'air d'être le cas.
2) Les réponses données sont des compléments aux recherches du demandeur. Au vu des efforts fournis par celui-ci, pour d'une part, recopier l'ensemble de son énoncé et d'autre part, mener une recherche sur l'ensemble des questions, en indiquant clairement ces points de blocage, les coups de pouce donnés ne sont en rien une solution clef en main. Sans cela, l'élève n'aurait pas avancé pendant 24h et serait peut être parti voir ailleurs....
@henry5 et Dosto,
Pour 2)d), je vous propose de calculer le carré de la matrice
Oui, la liste que j'ai donnée pour les racines de la matrice dans le cas x = y n'est pas exhaustive. Il y a d'autres solutions effectivement .
@henry5 Pour cette question 2)d), (maintenant que nous avons l'énoncé complet) la question n'est pas de fournir l'ensemble des solutions, mais juste de remarquer qu'il y a d'autres racines qui ne sont pas des matrices diagonales.
Bonsoir,
Mais je comprend pas la justification quel est le lien entre a&d et b&c pourquoi ils peuvent ne pas être nul , c'est visible dans les matrices mais littéralement je vois pas trop
Si a = -d alors le système se réduit à une seule équation :
a2 + bc = x.
D'où des solutions (a,b,c,d) avec a réel quelconque, b réel quelconque non nul, c = (x - a2)/b et d = -a.
Mais, comme dit par Dosto, le contre exemple suggéré suffit pour affirmer qu'il y a des solutions qui ne sont pas des matrices diagonales.
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