Bonjour et merci d'animer
J'ai bien tourné en rond ; mais je crois avoir réussi à trouver une réponse pour 1) :

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f(x) = |x|² pour x non nul. Et f(0) = 0.

Bonjour.

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ça m'embête bien car je ne vois pas ce qui ne va pas avec z=re^it-> et 0 pour 0

Bonjour jarod128,
Idem pour moi

Il y a un blème :

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Avec .
Et aussi la non unicité de l'écriture sous forme exponentielle...

Oui, je vois le blème. Je poursuis mes recherches.

Par rapport au "blème":

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Et si on impose dans la définition de f que z et f(z) soit en forme principale, cela ne suffirait-il pas avec   z=re^it-> ?

Toujours le "blème" :

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Avec on n'a pas fof(z) égal à z²

Plus simple pour la fonction proposée par jarod128 :
Avec z = -1, on n'a pas fof(z) = 1.

Les réponses de Sylvieg et de jarod128 ont permis d'obtenir les résultats suivants:

1) Il existe bien une application de dans telle que
    

2) On peut prolonger de manière naturelle cette fonction en une fonction de dans mais on arrive à trouver tel que (merci à Sylvieg qui a trouvé de tels exemples pour les fonctions proposées par  jarod128).

Il s'agit donc de montrer qu'il n'existe pas de fonction de dans telle que


Indications pour une première solution:
Supposons qu'une telle fonction existe.
Quelles sont les valeurs possibles de:
1) et ?
2) ?
3) ?

Indications pour une deuxième solution:
Supposons qu'une telle fonction existe.
Notons l'application de dans qui à   associe .
Soit l'ensemble des   tels que   .
Montrer que est stable par .

Merci pour les indications
Pour la première solution :
On suppose qu'il existe f de vers telle que

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J'ai tout d'abord démontré que f(z²) = (f(z))² en utilisant fofof(z).

1) f(0²) = (f(0))² et f(1²) = (f(1))².
D'où f(0) = 0 ou 1, et f(1) = 0 ou 1.
De plus fof(0) fof(1) ; donc f(0) f(1).

2) (f(-1))² = f((-1)²) = f(1) = 0 ou 1.
D'où f(-1) = 0, 1 ou-1.
fof(-1) = 1 ; donc f(-1) -1.
De plus fof(-1) fof(0) ; donc f(-1) f(0).
D'où f(-1) = f(1).

3) (f(i))² = f(i²) = f(-1) = 0 ou 1.
D'où f(i) = 0, 1 ou -1.
De plus fof(i) = -1 ; donc f(f(i)) f(0) et f(f(i)) f(1).
D'où f(i) différent de 0 et 1. Reste f(i) = -1.
Mais alors fof(i) = f(-1) = f(1) = 0 ou 1, et pas i².

Pour la seconde solution :

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On utilise aussi (f(z))² = f(z²).
(f(z))⁴ = ((f(z))²)² = (f(z²))² =f((z²)²) = f(z⁴).
Si z⁴ = z alors (f(z))⁴ = f(z).

On a donc {0, 1, j, j²} stable par f.
Après, on raisonne comme dans l'autre solution, en utilisant que seuls 0 et 1 sont invariants par f.

@ Sylvieg

Merci jarod128 pour tes encouragements
Je n'ai fait qu'utiliser les indications de perroquet.
Mais je ne suis pas complétement satisfaite car j'aurais voulu démontrer qu'il existe une fonction de dans telle que .
Et je coince sur l'unicité...

Peut-être parce qu'il n'y a pas unicité:
La fonction inverse composée avec elle -même (sauf en 0) étant l'identité, on peut prendre l'inverse de ta proposition comme autre fonction! On perd la continuité en 0.
Du coup on peut se demander de l'unicité si on oblige la continuité en 0.

Merci pour cette autre solution
Ça m'évite de continuer à chercher dans une mauvaise direction !

Bonjour, Sylvieg.

Je me souviens avoir lu que:

1) il existe une infinité de fonctions de dans telles que       , même si on rajoute l'hypothèse de la continuité.

2)  il existe une unique fonction de dans telle que    soit dérivable et   .

Mais je n'ai pas retrouvé la référence.


J'ai une démonstration élégante du deuxième résultat.
Je pense que cette question pourrait faire l'objet d'un autre sujet dans le forum détente. Je conseillerais d'abord d'étudier les fonctions de dans (ou seulement ce cas), la généralisation à n'étant pas très difficile.
Je veux bien donner la démonstration sur ce fil, mais les idées sont très différentes.

En ce qui concerne le premier résultat, j'ai une idée de démonstration, mais seulement une idée, et je n'ai pas envie d'approfondir.

Toutes mes félicitations à Sylvieg qui a trouvé les deux solutions que j'évoquais (je renvoie à ses posts, très clairs).

La deuxième n'est pas de moi (je vais en parler dans un post ultérieur).
La première me semble plus naturelle si je veux écrire un exercice pour des étudiants en L1. Mais elle ne se généralise pas.

Je vais maintenant exposer ma version de la "deuxième solution".

Si , alors:    .
On en déduit facilement que l'ensemble des complexes invariants par est stable par .
Puis:
1)
2) La restriction de à est une permutation de .
3) La restriction de à est une transposition, donc de signature "-1"
4) Mais     .
Il y a donc contradiction et il ne peut exister telle que .


On peut appliquer ce raisonnement à tous les polynômes pour lesquels l'équation admet 4 solutions distinctes (la "première solution" ne permet pas une telle généralisation).
Il reste les cas où l'équation n'admet pas 4 solutions distinctes, pour lesquels il faut une autre idée.

Tout ceci m'a été inspiré par l'article suivant:

When is f(f(z)) = az2 + bz + c?
R. E. Rice, B. Schweizer and A. Sklar
The American Mathematical Monthly
Vol. 87, No. 4 (Apr., 1980), pp. 252-263 (12 pages)
Published By: Taylor & Francis, Ltd.

l'article commençant par

Théorème


Si , alors, le nombre de 2-cycles de est pair ou infini

Merci perroquet pour le contexte et l'extension.
Ma démonstration de la seconde solution me semblait trop ressembler à celle de la première solution.

Très bonne idée de poster un autre sujet pour l'unicité quand on restreint aux fonctions dérivables de vers .

Pour les fonctions de dans telle que sans autre hypothèse, nous avons trouvé deux exemples g et h que je blanke :

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g(0) = 0 et g(x) = |x|² si x0.
h(0) = 0 et h(x) = |x|^-2 si x0.

J'ai fini par en trouver deux autres :

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g(0) = 1, g(1) = g(-1) = 0 et g(x) = |x|² si x0, 1 et -1.
Idem avec -2 à la place de 2.

Je crois avoir trouvé une infinité, mais sans continuité.

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Avec a > 0 :
f(0) = 0
f(x) = |x|^-a si |x| 1
f(x) = |x|^-2/a si |x| < 1 et x 0

@Sylvieg

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Ton post du 28 février à 14h31 donne en effet une infinité de fonctions solutions.
On peut remarquer que les restrictions à de ces fonctions sont dérivables, sauf en 1.

Voici des indications pour fabriquer une infinité de fonctions continues de dans telles que      


1) Il suffit pour cela de fabriquer des fonctions continues de   dans telles que      

2) On fixe arbitrairement      (en fait, on pourrait choisir pour toute valeur de ).
On choisit ensuite   continue et strictement croissante de dans .

3) Comment définir :
sur
sur
sur
... ?

4) Comment définir :
sur
sur
sur
... ?

salut

j'ai suivi mais n'avais aucune idée en tout cas bravo aux intervenants ...

je passe juste pour perroquet : n'oublie pas celui-là aussi un calcul de limite

merci par avance

désolé du double post !!

et éventuellement regarder celui-là aussi : integration et changement de variable

merci par avance

Bonsoir,
Merci perroquet pour les indications dans le message du 3 à 8h59
Bilan succinct de mes cogitations :

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J'ai interprété "de I dans J" comme "bijective de I dans J".

1) Avec pour 0 < x 1, on trouve ce qu'il faut sur ]0;+[.
Puis f(0) = 0 et f(x) = f(-x) pour x < 0.

2)

3)

Je rajoute 4) sur [3;4] :

Je rectifie les numéros des questions :

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J'ai interprété "de I dans J" comme "bijective de I dans J".

1) Avec pour 0 < x 1, on trouve ce qu'il faut sur ]0;+[.
Puis f(0) = 0 et f(x) = f(-x) pour x < 0.

3)

4)

Pour 2), je rajoute sur [3;4] :

Finalement, c'est 4) qui ne fonctionne pas :

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Très simple en fait : f(x) = f^-1(x²)

Une extrapolation intéressante : fof=ln