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Niveau terminale
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integration et changement de variable

Posté par
aya4545
01-03-22 à 18:36

bonjour
merci m orienter pour faire cet exercice
f bijection de R dans R tel que f derivable sur R   et sa derivée n est pas nulle et \int_x^{f^{-1}(x)}f(t)dt=x^2 determiner f(x) pour tout x de R
j ai fait un changement de variable u=f(t) mais sans interet
et merci bonjour
merci m orienter pour faire cet exercice
f bijection de R dans R tel que f derivable sur R   et sa derivée n est pas nulle et \int_x^{f^{-1}(x)}f(t)dt=x^2 determiner f(x) pour tout x de R
j ai fait un changement de variable u=f(t) mais sans interet
et merci

Posté par
carpediem
re : integration et changement de variable 01-03-22 à 18:47

salut

et si tu dérivais F(x) = \int_x^{f^{-1}(x)} f(t)dt = x^2 ...

Posté par
aya4545
re : integration et changement de variable 01-03-22 à 19:07

soit G une primitive de f sur R  on a:
F(x)=G(f^{-1}(x))-G(x)=x^2 donc F'(x)=G'(f^{-1}(x)).\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}-G'(x)=2x donc F'(x)=f(f^{-1}(x)).\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}-f(x)=2x donc F'(x)=\frac{x}{f'(f^{-1}(x))}-f(x)=2x

Posté par
aya4545
re : integration et changement de variable 01-03-22 à 19:10

 f(x)=\frac{x}{f'(f^{-1}(x))}-2x

Posté par
aya4545
re : integration et changement de variable 01-03-22 à 19:13

 f(x)=x(f^{-1})'(x)}-2x

Posté par
larrech
re : integration et changement de variable 01-03-22 à 19:22

Bonjour,

J'hésite à intervenir, mais j'essaierais ce qui suit

Appelons J(x) l'intégrale donnée.

1/ effectuer le changement de variable u=f^{-1}(t). On obtient une relation entre J et une autre intégrale K.

2/ faire une IPP pour "calculer" J.  Utiliser alors le résultat de 1/

3/ Procéder à une dérivation puis conclure

Sauf erreur car j'ai fait ça très vite...

Posté par
carpediem
re : integration et changement de variable 01-03-22 à 19:28

ouais ... une équation différentielle difficile à résoudre ...

Posté par
carpediem
re : integration et changement de variable 01-03-22 à 19:32

oui je voulais le demander !!

et que donne le changement de variable u = f(t) ?

Posté par
aya4545
re : integration et changement de variable 01-03-22 à 19:32

merci  carpediem et larrech
je pense qu il faut poser  u=f(t) car avec  u=f^{-1}(t) ca pose un probleme  a la deuxieme borne

Posté par
aya4545
re : integration et changement de variable 01-03-22 à 19:34

j ai deja essayé avec  u=f(t)

Posté par
larrech
re : integration et changement de variable 01-03-22 à 19:42

Citation :
car avec u=f^{-1}(t) ca pose un probleme  a la deuxieme borne


Pourquoi?

Posté par
larrech
re : integration et changement de variable 01-03-22 à 19:46

Ah oui, j'ai été trop vite.

Posté par
larrech
re : integration et changement de variable 01-03-22 à 19:48

Je n'ai pas le temps de reprendre, mais avec u=f(t) ?

Posté par
carpediem
re : integration et changement de variable 01-03-22 à 19:48

aya4545 @ 01-03-2022 à 19:34

j ai deja essayé avec  u=f(t)
ben montre-nous !!!

ensuite la voie de larrech semble prometteuse ...

larrech : tu peux poursuivre si tu veux ... je regarderai de loin ...

Posté par
aya4545
re : integration et changement de variable 01-03-22 à 20:00

F(x) = \int_x^{f^{-1}(x)} f(t)dt =\int_{f(x)}^{x} u(f^{-1})'(u)du

Posté par
aya4545
re : integration et changement de variable 01-03-22 à 20:07

F(x) = \int_x^{f^{-1}(x)} f(t)dt =\int_{f(x)}^{x} u(f^{-1})'(u)du=[uf^{-1}(u)]_{f(x)}^x- \int_{f(x)}^{x} (f^{-1})(u)du
 \\

Posté par
aya4545
re : integration et changement de variable 01-03-22 à 20:17

je pose  u=f(t)?

Posté par
carpediem
re : integration et changement de variable 01-03-22 à 20:38

ouais ...

ma notation n'était pas judicieuse ...

je note F une primitive de f et G(x) = \int_x^{f^{-1}(x)} f(t)dt = x^2

x^2 = G(x) = \int_x^{f^{-1}(x)} f(t)dt = [tf(t)]_x^{f^{-1}(x)} - \int_x^{f^{-1}(x)} tf'(t)dt = x^2 - xf(x) - \int_x^{f^{-1}(x)} tf'(t)dt

donc xf(x) = - \int_x^{f^{-1}(x)} tf'(t)dt

d'autre part x^2 = F(f^{-1}(x)) - F(x) \Longrightarrow 2x = (f^{-1})'(x) x - f'(x) ...

ouais bof ...

Posté par
carpediem
re : integration et changement de variable 01-03-22 à 20:40

je pense que pour clarifier et mieux voir les choses il peut être très utile de poser y = f(x) et x = f(z) ...

Posté par
lake
re : integration et changement de variable 01-03-22 à 20:45

Bonsoir,

Quelle est l'utilité d'un message qui  commence par :

  

Citation :
ouais ...


et qui finit par :

  
Citation :
ouais bof ...


J'ose poser la question.
  

  

Posté par
carpediem
re : integration et changement de variable 01-03-22 à 21:13

et quelle est l'utilité de ton msg ?

et j'ose te répondre :

aya4545 @ 01-03-2022 à 18:36


j ai fait un changement de variable u=f(t) mais sans intérêt
et donc c'est pourquoi je demandais à voir mais effectivement cela n'apporte pas grand chose ... à première vu

quant à mon développement c'est simplement parce que j'en ai eu l'idée dès le début et qu'il est basé sur la même idée que aya4545 mais directement sur la formule sans faire le changement de variable et qu'il aboutit à un résultat équivalent ... mais n'apporte guère plus non plus ... ...

mais à nouveau c'était pour voir et comparer avec son résultat ...

Posté par
larrech
re : integration et changement de variable 01-03-22 à 21:25

La piste que j'envisageais ne semble pas fonctionner, j'étais allé trop vite.
Quand j'ai vu que la dérivation conduisait à une équation différentielle difficile (voir solution sur Wolfram...), je me suis dit qu'il y avait peut être une autre voie. Et je ne l'ai pas trouvée.

A moins que l'énoncé...

Posté par
lake
re : integration et changement de variable 01-03-22 à 22:34

Citation :
et quelle est l'utilité de ton msg ?


Juste te signaler, si besoin était, que parler pour ne rien dire encombre et pollue inutilement les fils de ce forum, sans plus.
Bonne soirée quand même             

Posté par
carpediem
re : integration et changement de variable 01-03-22 à 23:02

tes deux msg sont effectivement exemplaires à ce sujet ...

connais-tu la maxime de la paille et de la poutre dans l'œil ?

et tu vas en avoir du boulot à faire de même avec tous ceux qui font ainsi ...

si tu veux intervenir pour apporter une réponse pertinente sur le pb je serai toujours ravi de te lire ...

je le suis moins à ces continuelles remarques acerbes dont tu es familier et que tu adresses toujours si élégamment à tous et dont peu s'en rendent compte ...
je ne me suis jamais permis jusqu'à présent de t'en faire la remarque ... mais puisque tu insistes ...

Posté par
lake
re : integration et changement de variable 02-03-22 à 16:19

Bonjour,

Faute de mieux :

  les deux fonctions linéaires f\,: x\mapsto (-1\pm \sqrt{2})\,x

   sont solutions du problème.

et parmi les fonctions affines, ce sont les seules.

La question reste entière : y en a-t-il d'autres ?

Posté par
carpediem
re : integration et changement de variable 02-03-22 à 16:27

avec mes notations de 20h38 je procéderai peut-être ainsi :

1/ G(0) = 0         en fait peut-être pas utile

2/ G(x) = \int_x^{f^{-1}(x)} f(t)dt = \int_x^0 f(t)dt + \int_0^{f^{-1}(x)} f(t)dt = \int_x^0 f(t)dt + \int_{f^{-1}(b)}^{f^{-1}(x)} f(t)dt

en notant a l'antécédent de 0 et b son image ...

et je ne ferai un changement de variable et/ou une IPP que sur une seule des deux intégrales ...

remarquer qu'en notant z l'antécédent de x et y son image on a  G(x) = \int_{f^{-1}(y)}^{f^{-1}(x)} f(t)dt = \int_{f(z)}^z f(t)dt

peut-être qu'il y a moyen de moyenner ...

Posté par
carpediem
re : integration et changement de variable 02-03-22 à 16:30

ha !!! merci lake

mais comment les as-tu trouvées ?

(en décidant de chercher des fonctions affines et en posant f(x) = px + q ?)

Posté par
lake
re : integration et changement de variable 02-03-22 à 16:40

Citation :
(en décidant de chercher des fonctions affines et en posant f(x) = px + q ?)

Très exactement. Je n'ai réussi à prouver que "l'ensemble des solutions n'est pas vide".

Tant qu'à faire, je poste un autre résultat que je n'ai pas su exploiter :

  En notant I(x)=\int_x^{f^{-1}(x)}f(t)\,\text{dt}, on peut prouver que :

   I(x)=xf^{-1}(x)-xf(x)-\int_{f(x)}^xf^{-1}(t)\,\text{d}t

Résultat probablement sans grand intérêt

Posté par
carpediem
re : integration et changement de variable 02-03-22 à 18:02

merci lake ...

je pense qu'il (nous) manque une vision : considérer x comme un antécédent ou une image ...

mais je n'arrive pas à voir le "truc"  non plus !!

Posté par
lake
re : integration et changement de variable 02-03-22 à 18:54

Oui, je suis "sec" moi aussi.
En désespoir de cause, je me suis tourné vers d'éventuelles solutions : pas fort, je le reconnais.

Posté par
carpediem
re : integration et changement de variable 02-03-22 à 20:00

certes !! mais tu as eu une idée !! et elle a marché !!

et même si on n'a pas la solution tu nous offres tout de même deux solutions ... et tu as apporté une (petite peut-être mais une) pierre à l'édifice !!!

wait and see ... as we said as usual !!

peut-être que quelqu'un nous apportera quelque chose de plus !!

Posté par
lake
re : integration et changement de variable 02-03-22 à 21:16

Bonsoir carpediem,
Je mange mon chapeau : je dois te reconnaître une qualité cardinale que je n'ai pas : tu n'es pas rancunier.
J'en viens presque à regretter mes vilains propos.

Ceci dit, vu la situation, ne pourrait-on pas  poster dans le sous forum "site" rubrique "sujet en rade" un appel à l'aide ?
Je suis quasiment persuadé qu'un jandri, GBZM, perroquet ... ou autres auraient leur mot à dire.

Qu'en penses-tu ?

Posté par
lake
re : integration et changement de variable 02-03-22 à 21:28

J'ai oublié, excuse du peu, elhor_abdelali !

Posté par
lake
re : integration et changement de variable 02-03-22 à 22:02

Quitte à avoir une indigestion voire une mauvaise nuit, je rectifie :

  

Citation :
J'en viens presque à regretter mes vilains propos.



  

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : integration et changement de variable 03-03-22 à 08:23

Posté par
carpediem
re : integration et changement de variable 03-03-22 à 09:33

lake : je ne suis pas rancunier ... et il ne sert à rien de se ronger le sang ainsi, il y a déjà suffisamment de misère et de violences ...

je reste donc toujours positif intellectuellement : quel que soit mon jugement à l'égard d'une personne je reconnaitrai toujours la valeur de son travail : non seulement tu apportes deux solutions mais en plus tu prouves donc qu'il y des solutions !!

non seulement je n'ai pas eu l'idée d'essayer une solution particulière mais en plus je n'aurai même pas l'idée de quoi essayer comme type de solution

et je pense que ton travail (prendre une fonction affine et une primitive de celle-ci,  l'inverser, calculer la différence des images, résoudre un sytème, ...) même s'il n'était pas difficile techniquement, était certainement très calculatoire tout de même et nécessitait de faire les choses proprement pour éviter des fautes bêtes ...

donc je ne peux dire que   et ce d'autant plus que je n'ai pas fait avancer le schmilblick d'un iota !!!

l'important est de conserver une honnêteté intellectuelle (et quand on voit ce qui s'est passé avec le covid on peut dire que nos scientifiques n'en ont peut-être pas tous eu), c'est le propre du scientifique !!

Posté par
lake
re : integration et changement de variable 05-03-22 à 14:44

Bonjour,

Je ne lâche pas l'affaire, mais après de longues heures de réflexion, je n'ai pas avancé d'un iota.
Un tout petit résultat cependant (qui ne fait pas avancer les choses) :

  A partir de ceci :

  

Citation :
 f(x)=\frac{x}{f'(f^{-1}(x))}-2x


  qui me semble correct et avec f' qui ne s'annule pas, on peut déduire que:

  Si f est solution, alors :

   f(0)=f^{-1}(0)=0 et (f'(0)=-1+\sqrt{2}\text{  ou  }f'(0)=-1-\sqrt{2)}

Attendons la suite : malou ne nous oublie pas

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : integration et changement de variable 10-03-22 à 01:22

Bonsoir mes amis

exercice intéressant !

Citation :
f bijection de R dans R tel que f derivable sur R et sa derivée n est pas nulle et \int_x^{f^{-1}(x)}f(t)dt=x^2 determiner f(x) pour tout x de R


il me semble que l'intuition de lake (que je salue) est tout à fait pertinente


\boxed{1} f étant une bijection de \mathbb R dans \mathbb R, elle s'annule en un unique réel \alpha=f^{-1}(0) vérifiant \int_0^{\alpha}f(t)dt=0

et donc \alpha=0 (car sinon f, qui est de signe constant entre 0 et \alpha, serait identiquement nulle entre ces deux réels et ne serait donc pas injective)

On conclut ainsi que f(0)=0 et que pour tout réel non nul x on a f(x)\neq0.

\boxed{2} La fonction g définie par g(x)=\frac{x}{f(x)}~,~x\neq0 et g(0)=\frac{1}{f'(0)} est continue sur \mathbb R et ne s'annule pas et donc garde un signe constant.

\boxed{3} Si F est une primitive de f sur \mathbb R, la condition \int_x^{f^{-1}(x)}f(t)dt=x^2 s'écrit aussi F(f^{-1}(x))-F(x)=x^2

soit en dérivant, \frac{x}{f'(f^{-1}(x))}-f(x)=2x ou encore pour tout réel x, (f^{-1})'(x)=2+\frac{1}{g(x)}

qui s'intègre en, f^{-1}(x)=2x+\int_0^x\frac{dt}{g(t)} ou encore \large \boxed{\forall x\in\mathbb R^*~,~\frac{f^{-1}(x)}{x}=2+\frac{1}{x}\int_0^x\frac{dt}{g(t)}}

soit en substituant f(x) à x, \Large \blue\boxed{\forall x\in\mathbb R^*~,~g(x)=2+\frac{1}{f(x)}\int_0^{f(x)}\frac{dt}{g(t)}}

la formule de la moyenne donne alors \Large \red\boxed{\forall x\in\mathbb R^*~,~\exists y\in\mathbb R^*~,~g(x)=2+\frac{1}{g(y)}}.

Si \large g>0, l'encadré rouge donne 2<g(x)<\frac{5}{2} pour tout réel non nul x et ainsi en notant \large m=\displaystyle\inf_{\mathbb R^*}g et \large M=\sup_{\mathbb R^*}g

on a pour tout réel non nul x, 2+\frac{1}{M}\leqslant g(x)\leqslant2+\frac{1}{m} et donc \Large \boxed{2+\frac{1}{M}\leqslant m\leqslant M\leqslant2+\frac{1}{m}}

et donc \Large \boxed{m=M=\sqrt2+1} ce qui donne \Large \boxed{\forall x\in\mathbb R~,~f(x)=(\sqrt2-1)x}.


Si \large g<0, l'encadré rouge donne \Large \boxed{m=M=-\sqrt2+1} ce qui donne \Large \boxed{\forall x\in\mathbb R~,~f(x)=(-\sqrt2-1)x} sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
lake
re : integration et changement de variable 10-03-22 à 02:08

Bonsoir elhor_abdelali

Et merci d'être intervenu !
Évidemment, en terminale, hum, comment dire ?

Posté par
malou Webmaster
re : integration et changement de variable 10-03-22 à 09:29

Bonjour lake et elhor_abdelali

Merci elhor_abdelali
Peut-être pas du niveau terminale, mais de ce que je vois depuis des semaines, les questions posées par aya4545 ne relèvent en rien du programme de terminale que nous connaissons en France.

En tout cas merci elhor_abdelali !

Bonne journée à tous

Posté par
carpediem
re : integration et changement de variable 10-03-22 à 09:34

j'avais eu l'idée de partir d'un point fixe ... (voir à 16h27) ... mais ne savais pas trop quoi faire ensuite ... et quel point fixe d'ailleurs ?

mais de toute façon je ne serai jamais arrivé à proposer le (encore ) superbe développement de elhor_abdelali qui est (encore ) un plaisir à lire !!

donc et merci


et à lake qui avait trouvé les solutions aussi

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : integration et changement de variable 10-03-22 à 10:50

C'est (et ce sera) toujours un plaisir pour moi de venir sur l'île des mathématiques où je retrouve des amis îliens (non rancunier )

mettant toujours de l'avant le soucis de la clarté ,de la rigueur et de la beauté des résolutions mathématiques !

Merci malou, sylvieg, lake, carpediem

(ceci dit je réfléchis encore à une résolution possible qui soit de niveau terminale )

Posté par
lake
re : integration et changement de variable 10-03-22 à 20:27

Bonsoir à toutes et à tous,

  Tout ceci, hormis les interventions plutôt désagréables d'un quidam (pour lever tout doute : je parle de moi) est réjouissant et totalement  dans "l'esprit de l'"

Je souhaite qu' aya4545 qui est tout à fait capable de comprendre le message d'ehlor_abdelali à 1h22 repasse par ici et commente éventuellement

Peut-être pourra-t-il ou elle nous communiquer la solution de son professeur

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : integration et changement de variable 10-03-22 à 21:33

Tout à fait d'accord lake, j'aimerais bien que aya4545 nous communique la résolution de son professeur.

Non lake tu es loin d'être un quidam, au contraire tes interventions ont chauffé le débat

Posté par
aya4545
re : integration et changement de variable 23-04-22 à 17:43

merci elhor_abdelali  ;  lake    ;  carpediem ;
    malou   et   Sylvieg
j  avais demandé a mon prof de maths la resolution de cet exercice il m a dit que cet un exercice de recherche . j insiterai sur lui prochainement et dès qu il me la communique je la péposerai sur l ile
et bon week end

Posté par
lake
re : integration et changement de variable 23-04-22 à 22:12

Bonsoir aya4545,

  Je vois que tu réagis suite à ma sollicitation dans un autre fil.
Merci à toi : tu es très réactive
Je vois bien que tu es coincée entre nous (demandeurs) et ton professeur et que tu ne maitrises pas tout ...
Tu remercies beaucoup de monde mais je crois que tu as oublié Larrech qui n'a pas démérité

A une prochaine suite si ton professeur le veut bien !  

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : integration et changement de variable 24-04-22 à 19:02

Merci d'avoir réagi aya4545

Et comme a dit lake à une prochaine suite si ton professeur le veut bien

Posté par
aya4545
re : integration et changement de variable 25-04-22 à 12:54

bonjour
merci larreh c est lake qui m a reappelé et meme mille merci au temps que vous consacrez pour nous guidez vers le chemin de succes  et reussite . merci encore pour tous les administrateurs  et responsables de cette ile  pour leur accompagnements afin qu on puisse relever certains defis
je vous souhaite une tres bonne journée
cordialement  Aya

Posté par
larrech
re : integration et changement de variable 25-04-22 à 14:01

Merci à toi aya4545, et merci aussi à lake, bien sûr.

Je m'étais fait des illusions sur ce coup là, faute d'avoir réellement fait les calculs...



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