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Racine d'un polynôme

Posté par
lamouchaa 09-02-22 à 18:49

Bonjour, j'ai du mal avec l'exercice suivant:

Soit P un polynôme à coefficients réels, P \in \mathbb{R}[X], on suppose que P(X)= X^n - a_1X^{n-1}- ... - a_{n-1}X -a_n  avec a_i \geq 0 pour tout i \in  \{ 1,...,n-1 \} et a_n > 0

Montrer que P admet une unique racine \alpha sur \mathbb{R}^*_+ :

Que P ait au moins une racine sur \mathbb{R}^*_+  est évident, c'est pour l'unicité que j'ai du mal.

J'ai remarqué que toute racine est solution de l'équation :
X^n = a_1X^{n-1}+...+a_n mais je ne sais pas si c'est utile pour tirer une conclusion.

Merci par avance de votre aide.

Posté par
carpediemre : Racine d'un polynôme 09-02-22 à 18:57

salut

tu peux remarquer que :

P(0) < 0
lim P(x) = +oo en +oo

donc P admet au moins une racine positive

reste à montrer que :

P < 0 pour x < 0
P est strictement croissant pour x > 0

(enfin cela suffit pour conclure)

Posté par
GBZMre : Racine d'un polynôme 09-02-22 à 18:57

Bonsoir,

Divise par x^n et regarde comment ça varie sur ]0,+\infty[.

Posté par
lamouchaare : Racine d'un polynôme 09-02-22 à 19:15

Mais qu'est ce qui permet de dire que P et croissant sur \mathbb{R}^*_+ ?  
P' peut bien être inférieur à 0 pour certaines valeurs de a_i, surtout pour X \in [0^+;1] non ?

Posté par
jeansebre : Racine d'un polynôme 09-02-22 à 19:27

Bonsoir

lamouchaa @ 09-02-2022 à 19:15


P' peut bien être inférieur à 0 pour certaines valeurs de a_i, surtout pour X \in [0^+;1] non ?


Avec P(x) = x²-x-1 , effectivement P'(x)=2x-1 est négatif sur [0;1/2]

Posté par
carpediemre : Racine d'un polynôme 09-02-22 à 19:33

en fait P peut faire n'importe quoi en dessous de 0 : monter ou descendre ...

mais dès que P devient positif il le reste ... (tout en faisant à nouveau n'importe quoi) ...

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Racine d'un polynôme 09-02-22 à 20:50

Bonsoir

En suivant l'idée de GBZM (que je salue !) on a, \Large \boxed{\forall x>0~,~P(x)=x^nQ(\frac{1}{x})~~,~~Q(x)=1-a_1x-...-a_nx^n}

Comme Q'<0 sur \mathbb R_+^*, le polynôme Q (et par suite le polynôme P) ne peut s'annuler plus qu'une fois sur \mathbb R_+^*.


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