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racines de 2 x² -3x + 1

Posté par
mathchim 22-09-18 à 18:22

Bonjour

je dois trouver les racines du polynômes 2x² -3x +1

pour cela, je détermine  les abscisses de 2 points de la courbe ayant pour ordonnée y=0


2x² - 3x + 1 = 0 <=> 2 \left[x² - \frac{3}{2} x + \frac{1}{2}\right] = 0 <=> 2\left[\left(x - \frac{3}{4} \right)² - \left(\frac{3}{4} \right)² + \frac{1}{2}\right] = 0 <=> 2 \left[ \left(x - \frac{3}{2} \right)² - \frac{9}{4} + \frac{2}{4}\right] = 0


<=> 2 \left[ \left(x - \frac{3}{2} \right)² - \frac{7}{4} \right] = 0 <=> 2 \left[(x - \frac{3}{2} - \sqrt{\frac{7}{4}} ) (x - \frac{3}{2} - \sqrt{\frac{7}{4}})\right] = 0 <=> 2 \left[\left(x - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{4}} \right) \left(x - \frac{3}{2}+ \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{4}} \right)\right] = 0


<=> 2\left[\left(x - \frac{3 - \sqrt{7}}{2} \right) \left(x - \frac{3 + \sqrt{7}}{2} \right)\right] = 0 <=> \left(x - \frac{3 - \sqrt{7}}{2} \right) = 0 ou bien  \left(x - \frac{3 + \sqrt{7}}{2} \right) = 0

Posté par
littleguyre : racines de 2 x² -3x + 1 22-09-18 à 18:25

Bonjour,

(3/4)2=9/16 et non 9/4

On peut aller plus vite...

Posté par
mathchimre : racines de 2 x² -3x + 1 22-09-18 à 18:32

arrivé à \left(x - \frac{3 - \sqrt{7}}{2} \right) = 0 ou bien \left(x - \frac{3 + \sqrt{7}}{2} \right) = 0


Pour les solution s de l'équation , je dois prendre l'opposé de \frac{3 - \sqrt{7}}{2} ou l'opposé de -\frac{3 - \sqrt{7}}{2}

Posté par
littleguyre : racines de 2 x² -3x + 1 22-09-18 à 18:34

As-tu lu ce que j'ai écrit ?

Posté par
mathchimre : racines de 2 x² -3x + 1 22-09-18 à 18:36

oui, je vais refaire le calcul depuis le début
mais quand j'ai un produit de deux facteurs , j'ai un peu de mal pour trouver les solutions de l'équation

Posté par
littleguyre : racines de 2 x² -3x + 1 22-09-18 à 18:51

Les solutions sont très simples.
Un produit de facteurs nul ssi l'un des facteurs est nul (comme tu l'as fait mais hélas avec un calcul préalable faux).
Il y a des formules permettant d'aller plus vite, mais tu n'as peut-être pas vu la notion de discriminant. Et ici on peut aller encore plus vite car il y a une solution "évidente".  Mais ta méthode va marcher aussi.

Posté par
mathchimre : racines de 2 x² -3x + 1 22-09-18 à 19:02

2\left[\left(x - \frac{3}{4} \right)² - \left(\frac{3}{4} \right)² + \frac{1}{2}\right] = 0 <=> 2\left[\left(x - \frac{3}{4} \right)² - \frac{9}{16}+ \frac{1}{2}\right] = 0 <=> 2 \left[\left(x - \frac{3}{4} \right)² - \frac{9}{16} + \frac{8}{16}\right] = 0

<=>2 \left[\left(x - \frac{3}{4} \right)² - \frac{1}{16} \right] = 0 <=> 2 \left[\left(x - \frac{3}{4} + \sqrt{\frac{1}{16}} \right) \left(x - \frac{3}{4} - \sqrt{\frac{1}{16}} \right)\right] = 0

<=> 2\left[\left(x - \frac{3}{4} + \frac{1}{\sqrt{16}} \right) \left(x - \frac{3}{4} - \frac{1}{\sqrt{16}}\right)\right] = 0 <=> 2 \left[\left(x - \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\right) \left(x - \frac{3}{4} - \frac{1}{4} \right) \right] = 0

<=> 2\left[\left(x - \frac{3 + 1}{4} \right) \left(x - \frac{3-1}{4} \right)\right] = 0

Posté par
mathchimre : racines de 2 x² -3x + 1 22-09-18 à 19:07

j'ai vu la méthode avec le discriminant, mais j'aimerais voir si j'obtiens le même résultat comme ça

Posté par
littleguyre : racines de 2 x² -3x + 1 22-09-18 à 19:09

D'accord. Reste juste à simplifier et à donner les valeurs de x qui annulent ce produit.

Posté par
littleguyre : racines de 2 x² -3x + 1 22-09-18 à 19:11

Évidemment qu'on doit obtenir le même résultat puisque la méthode du discriminant est issue de ce calcul....

Posté par
mathchimre : racines de 2 x² -3x + 1 22-09-18 à 19:15

2\left[\left(x - \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \right) \left(x - \frac{3}{4} - \frac{1}{4} \right)\right] = 0 <=>2 \left[\left(x - \frac{3 + 1}{4} \right) \left(x - \frac{3 - 1}{4} \right)\right] = 0 <=> 2 \left[\left(x - \frac{4}{4} \right) \left(x - \frac{2}{4} \right)\right] = 0

Posté par
littleguyre : racines de 2 x² -3x + 1 22-09-18 à 21:37

C'est quasiment fini, qu'attends-tu ?

Posté par
mathchimre : racines de 2 x² -3x + 1 22-09-18 à 23:25

Bonsoir

j'avais quand même un doute pour \left(x - \frac{3}{4}+ \frac{1}{4} \right)

puisqu' après j'ai écrit\left(x - \frac{3}{4}+ \frac{1}{4} \right) = \left(x - \frac{3+1}{4} \right)

et \left(x - \frac{3+1}{4} \right)
si je le développe , cela me donne \left(x - \frac{3+1}{4} \right) = \left(x - \frac{3}{4} - \frac{1}{4} \right) = \left(x - \frac{4}{4} \right)
ce qui ne correspond plus à l'équation de départ

Posté par
carpediemre : racines de 2 x² -3x + 1 23-09-18 à 01:03

salut

niveau collège :

2x^2 - 3x + 1 = 2x^2 - 2x - (x - 1) = ...

2x^2 - 3x + 1 = x^2 - x + x^2 - 2x + 1 = ...

2x^2 - 3x + 1 = 2x^2 - x - (2x - 1) = ...


un peu plus évolué : mais toujours niveau collège :

2x^2 - 3x + 1 = 0 \iff 4x^2 - 6x + 2 = 0 \iff (2x)^2 - 2 (2x) \dfrac 3 2 {\blue + \dfrac 9 4 - \dfrac 9 4 }+ 2 =0 \iff (2x - \dfrac 3 2)^2 - \left(\dfrac 1 2 \right)^2 = 0 \iff ...

Posté par
littleguyre : racines de 2 x² -3x + 1 23-09-18 à 08:39

> mathchim

Je reviens à ton intervention de 23:25

Citation :
si je le développe , cela me donne \left(x - \frac{3+1}{4} \right) = \left(x - \frac{3}{4} - \frac{1}{4} \right) = \left(x - \frac{4}{4} \right)

x-\dfrac{4}{4}=x-1 tout simplement...

Et je n'ai pas compris ton
Citation :
ce qui ne correspond plus à l'équation de départ

Posté par
Sylvieg Moderateurre : racines de 2 x² -3x + 1 23-09-18 à 08:45

Bonjour,

Citation :
pour cela, je détermine les abscisses de 2 points de la courbe ayant pour ordonnée y=0
C'est hors sujet.

Posté par
littleguyre : racines de 2 x² -3x + 1 23-09-18 à 09:03

Bonjour Sylvieg,

mathchim a peut-être eu comme définition : une racine d'un polynôme P(X) est une valeur α telle que P(α) = 0, et alors son approche, bien que compliquée, se comprend.

En revanche je ne comprends pas bien qu'il soit capable de faire des calculs "compliqués" et être incapable de voir que 4/4=1. Pour moi tout ce topic est une énigme...

Posté par
mathchimre : racines de 2 x² -3x + 1 23-09-18 à 10:23

Bonjour

oui, j'ai bien vu que 4/4 = 1

je reviens sur cette étape de calcul :

2\left[\left(x - \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \right) \left(x - \frac{3}{4} - \frac{1}{4} \right)\right] = 0 <=>2 \left[\left(x - \frac{3 + 1}{4} \right) \left(x - \frac{3 - 1}{4} \right)\right] = 0 <=> 2 \left[\left(x - \frac{4}{4} \right) \left(x - \frac{2}{4} \right)\right] = 0

plus exactement :

-\frac{3}{4} + \frac{1}{4} = -\frac{3+1}{4}

et là, il y a bien une erreur ? non ?

je pense que si, parce que si je veux vérifier mon calcul en partant de -\frac{3+1}{4}

-\frac{3+1}{4} = - \frac{3}{4} - \frac{1}{4}

et ce n'est plus les deux fractions de départ

Posté par
littleguyre : racines de 2 x² -3x + 1 23-09-18 à 10:29

-\frac{3}{4} + \frac{1}{4} = -\frac{3-1}{4}

Et tu as simplement changé l'ordre des facteurs dans ta première équivalence (qui reste cependant correcte)

Posté par
littleguyre : racines de 2 x² -3x + 1 23-09-18 à 10:31

ab=ba

Posté par
mathchimre : racines de 2 x² -3x + 1 23-09-18 à 11:05

j'ai changé l'ordre dans 2 \left[\left(x - \frac{3 + 1}{4} \right) \left(x - \frac{3 - 1}{4} \right)\right] = 0

mais je l'ai pas fait  volontairement, je me suis bien trompé et je le reconnais
vois-tu ?



-\frac{3}{4} + \frac{1}{4} \neq - \frac{3 + 1}{4}


-\frac{3}{4} + \frac{1}{4} = - \frac{3 + 1}{4} = > ça c'est pas correct

Posté par
littleguyre : racines de 2 x² -3x + 1 23-09-18 à 13:00

OK.

Posté par
yann0démonstration produit et somme racines d'un polynômes 26-09-18 à 15:31

Bonjour , je sui s  elève de 1ère S  (je voulais mettre mon prénom et apparemment il est déjà pris alors j'ai mis yann0



Dans cet exercice, on veut étudier l'existence des solutions (u;v) \in R_{2} du système : \left\lbrace\begin{matrix} u + v = s\\ u \times v = p \end{matrix}\right.
p et s sont des réels

On commence par étudier le cas particulier où  s = \frac{3}{2}
et p = \frac{1}{2}

CAs particulier
1) démontrer que les fonctions polynômes f_1(x)  et f_2(x) définies dans R par f_{1}(x) = 2x^{2} - 3x +1
et f_{2}(x)= x^{2} - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2} ont les mêmes racines.

2 ) Calculer la somme et le produit de ces racines. Que  remarquez-vous ? On pourra comparer ces valeurs aux coefficients de f_1 et f_2 et étudier les liens avec le système \left\lbrace\begin{matrix} u + v = s\\ u \times v = p \end{matrix}\right.

3) Déterminer toutes les solutions de \left\lbrace\begin{matrix} u + v = s\\ u \times v = p \end{matrix}\right. quand  s = \frac{3}{2}
et p = \frac{1}{2}


Cas Général

On veut montrer que (u,v) est solution de \left\lbrace\begin{matrix} u + v = s\\ u \times v = p \end{matrix}\right. si et seulement si u et v sont racines de la fonction définies par f(x) = x ^2 - sx + p

4 ) Soit g la fonction trinôme de degré 2 définie par g : - > ax^2 + bx + c

Montrer que dans le cas où x_1 et x_2 sont 2 racines , celles-ci vérifient x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} et x_{1} \times x_{2} = \frac{c}{a}

En déduire que si u et v sont racines de f alors (u,v) est solution de \left\lbrace\begin{matrix} u + v = s\\ u \times v = p \end{matrix}\right.


Pour la 1) j'ai calculé les racines et j'ai pu démontrer que les racines des 2 polynômes sont les mêmes mais après pour la suite de l'exo, je suis un peu perdu
est - il possible d'avoir de l'aide ? s'il vous plait
D'avance merci

*** message déplacé ***

Posté par
Zormuchere : démonstration produit et somme racines d'un polynômes 26-09-18 à 15:36

Bonjour

pour le 1)2) il suffit de calculer, comme il est demandé, la somme des deux racines, puis la somme des deux racines

*** message déplacé ***

Posté par
yann0re : démonstration produit et somme racines d'un polynômes 26-09-18 à 16:14





f_1(x) = 2x^{2} - 3x + 1

\Delta = b² - 4ac = 1 = (1)²


solutions :

x_1 = \frac{3 +1}{4}

x_2 = \frac{3 - 1}{4}  Soit \left\{\frac{1}{2} ; 1 \right\}



f_2(x) = x² - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}

\Delta = b^{2} - 4ac = \left(\frac{3}{2} \right)^{2} - 4 \times 1 \times \left(\frac{1}{2} \right) = \frac{9}{4} - \frac{4}{2} = \frac{9}{4} - \frac{8}{4} = \frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2} \right)^{2}

solutions :

x_1 = \frac{\frac{3}{2}+\frac{1}{2}}{2}

x_2 = \frac{\frac{3}{2}- \frac{1}{2}}{2} soit \left\{\frac{1}{2} ; 1 \right\}

*** message déplacé ***

Posté par
Zormuchere : démonstration produit et somme racines d'un polynômes 26-09-18 à 16:20

Oui donc les deux solutions sont 1/2 et 1

que vaut leur somme ? leur produit ?

*** message déplacé ***

Posté par
yann0re : démonstration produit et somme racines d'un polynômes 26-09-18 à 16:21

avec la forme canonique

x^{2} - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2} = 0 <=> \left(x - \frac{3}{4} \right)^{2} - \left(\frac{3}{4} \right)^{2} + \frac{1}{2} = 0 <=> \left(x - \frac{3}{4} \right)^{2} - \frac{9}{16} + \frac{8}{16} = 0 <=> \left(x - \frac{3}{4} \right)^{2} - \frac{1}{16} = 0


\left(x - \frac{3}{4} \right)^{2} - \frac{1}{16} = 0 <=> \left(x - \frac{3}{4} \right)^{2} - \left(\frac{1}{4} \right)^{2} = 0 <=> \left(x - \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\right) \left(x - \frac{3}{4} - \frac{1}{4} \right) = 0 <=> \left(x - \frac{1}{2} \right) \left(x - 1 \right) = 0

*** message déplacé ***

Posté par
yann0re : démonstration produit et somme racines d'un polynômes 26-09-18 à 16:22

il faut d'abord montrer à la 1)
en calculant -- > je ne démontre rien du tout

*** message déplacé ***

Posté par
Zormuchere : démonstration produit et somme racines d'un polynômes 26-09-18 à 16:25

Un calcul peut suffir à démontrer
ces deux polynômes ont par définition un maximum de deux solutions, tu as trouvé pour chacun un ensemble de deux solutions identique, donc c'est démontré

Si tu veux utiliser une autre méthode, tu peux dire que  f_1(x)=2\times f_2(x)

*** message déplacé ***

Posté par
yann0re : démonstration produit et somme racines d'un polynômes 26-09-18 à 16:36

je vais essayer la deuxième méthode, mon professeur exige de la rigueur.

je réfléchis ....

j'ai  : f_1(x) = 2x² - 3x +1 et j'ai  f_2(x) = x² - \frac{3}{2} + \frac{1}{2}

si je factorise

2x² - 3x +1 = 2 \left[x² - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2} \right]


alors f_1(x) = 2  \times f_1(x)

*** message déplacé ***

Posté par
Zormuchere : démonstration produit et somme racines d'un polynômes 26-09-18 à 16:42

plutôt  f_1(x) = 2\times f_2(x)

Maintenant il faut arriver à la conclusion suivante :

f_1(x)=0\quad \Leftrightarrow \quad f_2(x)=0

*** message déplacé ***

Posté par
yann0re : démonstration produit et somme racines d'un polynômes 26-09-18 à 17:18

2x² - 3x +1 = 0 <=> 2 \left[\left(x - \frac{1}{2} \right)\left(x - 1 \right) \right] = 0 <=> \left(x - \frac{1}{2} \right) = 0 ou bien \left(x - 1\right) = 0

f_1(x) = 0 si et seulement si x = 1 et x = 1/2

*** message déplacé ***

Posté par
yann0re : démonstration produit et somme racines d'un polynômes 26-09-18 à 17:20

et comme f_1(x) = 2 \times f_2(x)

j'en déduis que .....

que f_2(x) = 0 si x= 1/2 et x ' = 1

*** message déplacé ***

Posté par
malou Webmasterre : racines de 2 x² -3x + 1 26-09-18 à 17:46

mathchim=yann0= multicompte=multipost
ceux qui t'ont aidé apprécieront....

Posté par
littleguyre : racines de 2 x² -3x + 1 26-09-18 à 18:31

Grrrrr !

Posté par
mathchimre : racines de 2 x² -3x + 1 29-09-18 à 21:17

ok  là j'aimerais poursuivre le sujet , puis-je avoir de l'aide ?

Posté par
mathchimre : racines de 2 x² -3x + 1 29-09-18 à 21:41

puis-je avoir un peu d'aide ?

Posté par
malou Webmasterre : racines de 2 x² -3x + 1 30-09-18 à 09:19

oui, à une condition ! que tu n'en mettes pas 20 échanges pour une question qui tient en une ligne, ce qui a l'air d'être une de tes occupations favorites
Je disais à mes élèves : moins vous en écrivez, moins vous avez de chance d'écrire des bêtises !
donc sois concis, efficace...une bonne rédaction est claire, nette et courte à ton niveau !
quelle question te pose problème ? et qu'as-tu écrit ?

Posté par
mathchimre : racines de 2 x² -3x + 1 30-09-18 à 15:32

Bonjour malou

pour la 1) il faut démontrer que les racines de  f_1(x) et celles de f_2(x) sont les mêmes.
mais là encore j'ai fait une démonstration  qui comporte bien trop de lignes
et je n'arrive toujours pas à être efficace

Posté par
malou Webmasterre : racines de 2 x² -3x + 1 30-09-18 à 15:42

f_{1}(x) =0 \Longleftrightarrow 2x^{2} - 3x +1=0\Longleftrightarrow2(....)=0\Longleftrightarrow\dots=0\Longleftrightarrow f_2(x)=0
terminé
1 ligne

Posté par
mathchimre : racines de 2 x² -3x + 1 01-10-18 à 20:23

Bonsoir malou

pour la 2) je dois calculer la somme et le produit des racines et dire ce que je remarque

f_1(x) = 2x² - 3x + 1  = 0

\left\lbrace\begin{matrix} a = 2\\ b = -3 \end{matrix}\right.

\Delta = b² - 4 ac = (-3)² - 4 \times 2 \times 1 = 9 - 8 = (1)²

x_1 =\frac{3 + 1}{4} = 1

x_2 =\frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

                                                                 S =x_1 + x_2 = 1 + \frac{1}{2} =  \frac{3}{2}

                                                                                                      P = x_1 \times x_2 = \frac{1}{2}


si S = \frac{3}{2} => 1 \times -(-3) = > 1 \times -b

donc S = -\frac{b}{a}



f_2(x) = x² - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2} = 0

\left\lbrace\begin{matrix} a = 1\\ b = - \frac{3}{2} \end{matrix}\right.

\Delta = b² - 4 ac = \left(- \frac{3}{2}\right)^² - 4 \times 1 \times  \frac{1}{2} = \left( \frac{1}{2}\right)^²

x_1 = \frac{\frac{3}{2}+ \frac{1}{2}}{2}  = \frac{\frac{4}{2}}{2} = 1

x_2 = \frac{\frac{3}{2} -  \frac{1}{2}}{2} = \frac{\frac{2}{2}}{2} = \frac{1}{2}


  

Posté par
malou Webmasterre : racines de 2 x² -3x + 1 01-10-18 à 20:32

mais tu comprends ce que tu fais !
on a démontré au dessus, que ces deux équations ont les mêmes racines !! pas la peine de les chercher deux fois !
par contre il y a des questions précises de posées, et tu dois y répondre

Citation :
2 ) Calculer la somme et le produit de ces racines. Que remarquez-vous ? On pourra comparer ces valeurs aux coefficients de f_1 et f_2 et étudier les liens avec le système \left\lbrace\begin{matrix} u + v = s\\ u \times v = p \end{matrix}\right.
(en remarquant que s et p sont connus)

Posté par
mathchimre : racines de 2 x² -3x + 1 03-10-18 à 11:28

Bonjour malou



pour comparer ces valeurs aux coefficients de f_1(x) = 2x^2 - 3x + 1

S = \dfrac{3}{2}   => \left\lbrace\begin{matrix} 1 \times - (-3 )\\ 1 \times 2 \end{matrix}\right.  = >   \left\lbrace\begin{matrix} 1 \times - b\\ 1 \times a \end{matrix}\right.

je conclue pour f_1(x) : pour avoir la somme des racines, il faut prendre l'opposé de b.



pour comparer ces valeurs aux coefficients de f_2 (x) = x^2 - \frac{3}{2} x + \frac{1}{2}

S =  \dfrac{3}{2} => 1 \times - \frac{3}{2} = > 1 \times - b

Posté par
malou Webmasterre : racines de 2 x² -3x + 1 03-10-18 à 13:34

non, dans le 1er cas
-3/2, comment peux-tu le trouver avec a, b et c

et dans le 2e cas
-3/2 correspond-il alors à ce que tu as trouvé dans le 1er cas ?

il faut arrêter d'écrire ces pseudos implications, équivalences et autres, auxquelles je ne comprends rien et qui servent à noyer et la question et le poisson ! ....

Posté par
mathchimre : racines de 2 x² -3x + 1 03-10-18 à 14:13

je suis vraiment pas à l'aise avec cet exo et j'essaye de " parler " avec des explications, nous communiquons par message, pas par oral et là, c'est pas facile, je voudrais dire comment je ressens le problème...

je calcule la somme S = \frac{3}{2} et je remarque que le numérateur de la

fraction et bien c'est l'opposé de (-3) et comme justement : b = -3 c'est l'opposé de b

je réponds à ta question : dans le 1 er cas =

-3/2, comment je peux le trouver avec a,b et c ?

et bien a = 1, b = -3 pour avoir -3/2 je dois prendre   b/a

Posté par
malou Webmasterre : racines de 2 x² -3x + 1 03-10-18 à 14:16

1er cas
a=2
b=-3
c=1
comment trouver 3/2 avec les lettres a, b et c

2e cas : est ce encore OK ?

Posté par
mathchimre : racines de 2 x² -3x + 1 03-10-18 à 14:54

1 er cas

pour trouver 3/2 avec a = 2 et b = -3
je prends l'opposé de b car b vaut -2

2 e cas :

pour trouver 3/2 avec a = 1 et b = -3/2
pareil je prends -b

Posté par
malou Webmasterre : racines de 2 x² -3x + 1 03-10-18 à 15:00

1er cas ....je sais pas, mais chez moi l'opposé de b vaut 3

Posté par
mathchimre : racines de 2 x² -3x + 1 03-10-18 à 15:10

oui, justement au post de 14 h 16
Tu me dit comment trouver 3/2 avec a = 2 et b = -3

forcément, pour trouver 3 au numérateur , je fais -b puisque b < 0

Posté par
malou Webmasterre : racines de 2 x² -3x + 1 03-10-18 à 15:47

c'est ça qu'on te demande

\dfrac 3 2 = \dfrac{...}{...}
un résultat qui utilise les lettres a et b, ou c...et qui semble toujours vrai !

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