Salut!

C[X], bon c'est l'espace vectoriels de spolynomes a coefficients dasn C. Les coeff sont des complexes. C'est tout. Du coup, les racines aussi, forcement...

Avoir une racine commune dans C, ca veut dire qu'il existe un z complexe, tel que A(z) = B(z) = 0. Effectivement, on peut factoriser (x-z), du coup, mais pour le moment on s'en fiche.

Reprenons maintenant:

Tu pars bien. On suppose que z (ai si tu veux) est une racine commune. Alors pourquoi A et B ne peuvent pas etre premiers entre eux?
(revenir a la definition depremier entre eux, et utiliser la racine commune...).


Ne pas oublier la reciproque...



Allez!
biondo

J'oubliais.
Ce que tu as fait est.... bof. A divise BQ1/Q2, mais B....

A= B. Q1/Q2    donc B|A

Je crois qu'il faut que je comprenne exactement pourquoi ce que j'ai écrit ici est faux. Il me semble que quand on manie la division euclidienne au lycée, on s'intéresse à des entiers exclusivement. Mais j'avais cru comprendre que c'était un peu différent avec les polynômes, puisqu'on peut dire A|2A mais aussi 2A|A
Dans le division euclidienne on écrit:
2A= A.2       et  A=2A. 1/2
Ici mon quotient n'est pas un entier...

Effectivement la divisibilite de polynomes est un peu differente de celle pour les entiers.

On dit qu'un polynome divise un autre si leur quotient est encore un polynome (je vais me faire taper dessus par les puristes, mais bon).
DOnc dans le cas A et 2A, dans les deux sens ca marche... 2 et 1/2 sont bien de spolynomes (constants).

Dans ce que tu as ecrit, on ne peut pas affirmer que Q1/Q2 soit effectivement un polynome. C'est a priori une fraction rationnelle.

Exemple:
A = X(X+1)
B = X(X+2)

A et B ont une racine commune (zero).

Pour autant, B ne divise pas A...

Ok?

revenons a l'exo (t'es bien parti, je le repete.... par l'absurde c'est le bon plan).

Courage!
biondo

On sait que tout polynome de C[X] admet une décomposition en produit de facteurs irréductibles de la forme (X-a). Ainsi:

A et B premiers entre eux

<=>

Les facteurs premiers de A et B sont distincts

<=>

Si X-a divise A, il ne divise pas B et si X-b divise B il ne divise pas A

<=>

Si a racine de A, elle n'est pas racine de B et si b racine de B elle n'est pas racine de A

<=>

A et B n'ont pas de racines communes

Certes.
Mais letonio a-t-il deja vu la decomposition en facteur irreductibles?

Dans le doute, et pour apprendre a manipuler les concepts et les hypotheses (comme letonio aime le faire...), j'aurais bien vu:

Supposons que A et B admettent une racine commune, notons-la z.
Alors comme A et B premiers entre eux, Bezout:

AU + BV = 1

Je substitue z a X: 0 =1. Absurde.

Et la reciproque:
Si A et B n'ont pas de racines communes.
Alors soit Q un diviseur de A et B. Q ne peut pas avoir de racine (sinon c'est pas top).
Et le theoreme de d'Alembert permet de dire que le degre de Q est 0. DOnc Q est une constante, ce qui signifie que A et B premiers entre eux par definition.


A+
biondo

Imbécile de prof! (je parle de mon prof) Je n'ai pas encore vu la décomposition en facteurs irréductibles, (hum en tout cas je ne crois pas ).

Ceci dit j'adore la démonstration que tu m'as faite. . Par contre je ne connais pas d'Alembert. Je suppose que je vais avoir la suite du cours aujourd'hui... Sans doute les choses vont s'éclaircir.

D'Alembert dit que tout polynome de degre au moins 1 admet une racine complexe.

biondo

Mon cours d'algèbre est demain. Je me lance dans cet exo dès que j'aurais vu ces notions.
A très bientôt donc

Au fait merci pour l'aide conséquente que tu m'as apportée ces derniers jours Biondo. J'apprécie.

Quand tu veux!

On dit qu'un polynome divise un autre si leur quotient est encore un polynome (je vais me faire taper dessus par les puristes, mais bon).
DOnc dans le cas A et 2A, dans les deux sens ca marche... 2 et 1/2 sont bien de spolynomes (constants).

Dans ce que tu as ecrit, on ne peut pas affirmer que Q1/Q2 soit effectivement un polynome. C'est a priori une fraction rationnelle.

C'est ça qui me manquait... C'est plus clair merci.

Du coup, on rretrouve ce qu'on sait sur la division euclidienne avec des entiers. On remplace juste entier par polynôme, et  ça roule.

Ok je m'y lance. Par contre tout n'est pas complètement clair pour moi dans mon cours. Je vais essayer quand même. Je pense qu'en faisant les exercices (et grâce à votre aide ) ça devrait s'éclaircir.

J'essaie de rédiger la démonstration de Biondo. J'aimerais aussi reprendre celle de Babou14.

Supposons que A et B ont une racine commune z dans C, et que A et B sont premiers entre eux.

A et B premiers entre eux AU +BV= 1
  A(X)U(X)+ B(X)V(X)=1
  A(z)U(z)+ B(z)V(z)=1
0= 1   ce qui est absurde.

Et réciproquement:
Si A et B n'ont pas de racine commune, et qu'ils ont un diviseur commun Q.
On a:
   A= QP
et B= QR

Puisque A et B n'ont pas de racine commune, alors Q n'a pas de racine dans .
D'après le théorème d'Alembert on peut en conclure que Q est une constante.

Donc A et B sont premiers entre eux.

J'essaie de mettre à ma sauce la démonstration de Babou14.

On sait que tout polynôme P dans [X] de deg > ou égal à 1 se décompose de manière unique sous la forme:

P=

ca c'est juste histoire de me faire rentrer mon cours dans la tête.

(Il me semble qu'il me manque une hypothèse du genre deg de A et B >0).

On peut décomposer A  dans [X] sous la forme d'un produit de facteurs de la forme ,
et B dans [X] sous la forme d'un produit de facteurs de la forme .

Or A et B premiers entre eux
ne divise pas B et ne divise pas A
n'est pas racine de B et n'est pas racine de A
A et B n'ont pas de racine commune.

c'est à peu près correct?

2) application: montrer que X^5 +1 et X^7 -X -1 sont premiers entre eux.

Je suppose qu'il faut montrer que ces deux poly n'ont pas de racine en commun.

Je me lance.

pour X^5 +1 je trouve -1 comme racine évidente. Je factorise:

X^5 +1= (X+1)(X^4- X^3 + X^2 -X +1)

Mais je n'arrive pas à trouver de racine évidente pour (X^4- X^3 + X^2 -X +1). J'ai essayé i -i 1 2 -1 1.   Comment est ce que je peux faire pour trouver cette fichue racine?

Hey!

Il me semblait bien avoir vu un 1) dans ton post du debut. Voici donc la suite...

A mon avis, on n'a pas besoin de calculer les racines. Il suffit de montrer qu'il n'en existe pas de commune aux deux polynomes.

Prends par exemple une racine du premier. Peut-elle annuler le second?

A+
biondo

Mais si tu tiens absolument a calculer les racines:
Factorise X^2 (si si...)
Z = X + 1/X dans le polynome que tu as obtenu....

b

salut
déjà y'a pas de racine réelle (évident ou pas) tu traces la courbe f(X)=X^4- X^3 + X^2 -X +1 et tu verras
ensuite y'a pas de racine imaginaire pur pour le montrer
tu poses X=ai et tu calcules f(ai) tu arrives à
(a^4-a²+1)+i(a^3-a) =0 soit avec a^3-a=0 a=0 ou 1 ou-1 et aucune de ces trois là ne marche pour  a^4-a²+1=0 donc
pas de racine imaginaire pur
donc ....j'ai plus d'idées désolé
bye

ah oui ça me revient le Z=X+1/X
bien vu biondo
bye

Mais une fois que j'ai vu que -1 n'est pas racine de X^7 -X -1 ?
Tu essaies de me dire qu'il y a une jolie astuce à voir Biondo?

Personnellement je n'ai pas compris le Z = X + 1/X.
Si quelqu'un peut développer un peu, ça m'interesse. Même si je n'en ai pas besoin ici.

Au fait, il y a un 3) mais qui me paraît tranquillou, puisqu'il s'agit de retrouver le résultat par l'algo d'Euclide (donc je suppose que je dois arriver à PGCD(A,B)= 1 ).

Je developpe "un peu".

0 n'est pas racine de (X^4- X^3 + X^2 -X +1).
Donc je divise par X^2 non nul pour trouver les racines.

X^2 - X +1 -1/X + 1/X^2 = 0

En posant Z = X + 1/X
Z^2 = X^2 + 1/X^2 + 2

DOnc l'equation revient a Z^2 -2 -Z + 1 = 0

Que tu sais resoudre...

alors pour le coup du Z=X+1/X
qd tu as ça X^4- X^3 + X^2 -X +1=0 tu factorises X² comme l'a dis biondo
je passe en minuscules
x²(x²-x+1-1/x +1/x²)=0 avec x0 bien sur
donc on s'intéresse à ça x²-x+1-1/x +1/x²=0
c'est en fait x²+1/x² +1 =(x+1/x)²-1 et donc
x²-x+1-1/x +1/x² devient (x+1/x)² -(x+1/x)-1=0 donc tu poses z=x+1/x et tu résouds z²-z-1=0 tu en déduis des z solutions et donc les x
bye

C'est vu. Je trouve deux racines pour Z
X+1/X= (1+ ou - sqr5)/2   ce qui m'amène à une autre équation à du second degré, en multipliant des deux côtés par X. Bref c'est chiant

Tu disais qu'il y a une astuce Biondo?

Une astuce, non...

Supposons qu'il y ait une racine commune, genre z.

z^5 = -1

Donc z^7 - z + 1 = (-1).z^2 - z +1 = 0  (puisque racine commune).

je te laisse trouver les racines de ce machin.

ensuite tu montres qu'elles ne verifient pas z^5 + 1 = 0, et hop.

A+
biondo

Vous ne m'avez pas dit si la manière dont j'ai rédigé est correcte.

J'essaie de rédiger ta méthode. Mais à la réflexion, il me semble que la seule racine de A est -1. Comme -1 n'est pas  solution de B, et que je pense qu'on peut montrer facilement que A ne divise pas B, est ce qu'on ne peut pas s'en tenir là pour dire que A et B n'ont pas de racine commune et qu'ils sont donc premiers entre eux?

On suppose que A=   et B= - X -1    ont une racine en commun: a .

On a alors:



= -1
-a -1=0

Etudions les racines de -a^2 -a -1
delta= 1- 4= -3 = 3.i^2

d'où a= (1- i.sqr3)/2  ou (1+ i.sqr3)/2

Or la seule racine de A est -1.
comme (1- i.sqr3)/2 -1
et    (1+ i.sqr3)/2-1
Il y a donc contradiction avec l'hypothèse de départ.
On peut donc en conclure que A et B n'ont pas de racines communes.

Donc d'après le 1), A et B sont premiers entre eux .

si ma rédaction ne vous semble pas correcte, faites moi signe.

3) Retrouver ce résultat à l'aide de l'algorithme d'Euclide.
Je suppose qu'il suffit que je prouve que PGCD(A,B)=1. C'est bien ça?

Salut,

-1 ne peut pas être la seule racine de A dans .
En effet dans , tout polynôme de degré n admet exactement n racine (en comptant avec les multiplicités).

lire n racines.

Eh merde c'est vrai. J'avais oublié. C'est encore tout frais d'hier les racines des poly dans C