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racines simples
bonjour
soit P(X) = Xn-Xn-1-Xn-2-....-X-1
a- mq P admet une racine unique notée r dans R+
b- mq r > 1
c- en considerant Q(X) = (X-1)P(X) mq toutes les racines de P sont simples
a- je n'ai trouve aucune idee
b- on suppose que r <=1
alors rn-rn-1-....-r-1=0
puis r(rn-1-rn-2-....-1)=1
si r<=1 alors r<=r
puis on deduit (rn-1-rn-2-....-1) <= 0 or son produit avec r>= 0 d'apres a doit valoir un nombre negatif , contradiction avec 1 qui est positif
c- on P(X) = Xn-(Xn-1)/(X-1) puis Q(X) = (X-1)P(X) = Xn(X-1)-(Xn-1) = Xn+1-2Xn+1
en derivant Q'(X) = P(X)+(X-1)P'(X)
soit r une racine de P donc P'(r) = Q'(r)/(r-1) en calculant Q'(r) je n'arrive pas a montrer qu'elle n'est pas nulle
merci a vous
Bonjour,
Tu peux diviser par
et étudier la variation de la fonction obtenue définie sur
.
On pourra discuter de la suite après.
Bonsoir,
sans certitude j'utiliserai
P(X) = Xn-(Xn-1+Xn-2+...+X+1)
puis la somme d'une suite géométrique.
bonjour
en effet ,verdurin, j'ai pense a cette idee pour la question c/ , mais je n'ai pas su l'exploiter plus que ca .
en utilisant l'indication de GBZM, je trouve V(X) = P(X)/Xn = 1-1/X-....-1/Xn
puis en derivant (P(X)/Xn)' = 1/X2+2/X3+.....+(n)/Xn+1 > 0 ,
d'autre par lim V(X) = -
pour X tend vers 0+ et lim V(X) = 1 pour X tend vers +
d'apres tvi il existe r
R+ tq V(r) = 0 puis P(r) = 0
je n'ai pas pense a utiliser des outils d'analyse pour resoudre des exos d'algebre, mais il faut se rappeler que ces divisions au sein des maths ne sont que des conventions recentes.
merci a vous
Oui, mais il n'y a pas besoin de dériver pour voir que est croissant sur
.
Par ailleurs, cette même idée résout facilement la question b).
Pour la question c), on peut s'intéresser aux racines de et se demander si elles peuvent être racines de
.
bonsoir
tout d'abord que que 1 n'est pas racine de Q'
ensuite soit r racine de Q' alors P(r) = -(r-1)P'(r)
puis Q(r) = (r-1)P(r) = -(r-1)2P'(r) , r est racine de Q ssi r est racine de P'
on supposant que r est racine de Q , on obtient que tout les racines de Q' sont racines de P' donc Q' divise P' impossible car degQ' > degP' ainsi par negation de l'implication r racine de Q'==> r racine de Q , on obtient que r racine de Q' et r n'est pas racine de Q , puis tout les racines de Q sont simples et ayant les memes racines que P ,
alors toutes les racines de P sont simples
merci a vous
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