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Niveau maths sup
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racines simples

Posté par
Yosh2
24-02-21 à 17:42

bonjour
soit P(X) = Xn-Xn-1-Xn-2-....-X-1
a- mq P admet une racine unique notée r dans R+
b- mq r > 1
c- en considerant Q(X) = (X-1)P(X) mq toutes les racines de P sont simples

a-    je n'ai trouve aucune idee
b-   on suppose que r <=1
alors rn-rn-1-....-r-1=0
puis r(rn-1-rn-2-....-1)=1
si r<=1 alors rn-1<=rn-2 puis on deduit (rn-1-rn-2-....-1) <= 0 or son produit avec r>= 0 d'apres a doit valoir un nombre negatif , contradiction avec 1 qui est positif
c-   on P(X) = Xn-(Xn-1)/(X-1) puis Q(X) = (X-1)P(X) = Xn(X-1)-(Xn-1) = Xn+1-2Xn+1
en derivant Q'(X) = P(X)+(X-1)P'(X)
soit r une racine de P donc P'(r) = Q'(r)/(r-1) en calculant Q'(r) je n'arrive pas a montrer qu'elle n'est pas nulle

merci a vous

Posté par
GBZM
re : racines simples 24-02-21 à 17:51

Bonjour,

Tu peux diviser P par X^n et étudier la variation de la fonction obtenue définie sur ]0,+\infty[.
On pourra discuter de la suite après.

Posté par
verdurin
re : racines simples 24-02-21 à 17:55

Bonsoir,
sans certitude j'utiliserai
P(X) = Xn-(Xn-1+Xn-2+...+X+1)
puis la somme d'une suite géométrique.

Posté par
verdurin
re : racines simples 24-02-21 à 17:59

L'indication de GBZM est plus simple à utiliser.

Posté par
Yosh2
re : racines simples 25-02-21 à 12:24

bonjour
en effet ,verdurin, j'ai pense a cette idee pour la question c/ , mais je n'ai pas su l'exploiter plus que ca .
en utilisant l'indication de GBZM, je trouve V(X) = P(X)/Xn = 1-1/X-....-1/Xn
puis en derivant (P(X)/Xn)' = 1/X2+2/X3+.....+(n)/Xn+1 > 0 ,
d'autre par lim V(X) = - pour X tend vers 0+ et lim V(X) = 1 pour X tend vers +
d'apres tvi il existe rR+ tq V(r) = 0 puis P(r) = 0
je n'ai pas pense a utiliser des outils d'analyse pour resoudre des exos d'algebre, mais il faut se rappeler que ces divisions au sein des maths ne sont que des conventions recentes.
merci a vous

Posté par
GBZM
re : racines simples 25-02-21 à 15:31

Oui, mais il n'y a pas besoin de dériver pour voir que P(X)/X^N  est croissant sur ]0,+\infty[.
Par ailleurs, cette même idée résout facilement la question b).
Pour la question c), on peut s'intéresser aux racines de Q' et se demander si elles peuvent être racines de Q.

Posté par
Yosh2
re : racines simples 25-02-21 à 20:17

bonsoir
tout d'abord que que 1 n'est pas racine de Q'
ensuite soit r racine de Q' alors P(r) = -(r-1)P'(r)
puis Q(r) = (r-1)P(r) = -(r-1)2P'(r) , r est racine de Q ssi r est racine de P'
on supposant que r est racine de Q , on obtient que tout les racines de Q' sont racines de P' donc Q' divise P' impossible car degQ' > degP' ainsi par negation de l'implication r racine de Q'==> r racine de Q , on obtient que r racine de Q' et r n'est pas racine de Q , puis tout les racines de Q sont simples et ayant les memes racines que P ,
alors toutes les racines de P sont simples
merci a vous

Posté par
GBZM
re : racines simples 25-02-21 à 21:16

1 est racine de Q' si n=2. Les racines de Q' sont 0 (multiplicité n-1) et 2n/(n+1).



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