Bonjour a tous et a toutes! Je bloque sur un des exos de mon DM, et j'aurai besoin de votre aide, voilà le sujet:


Cet exercice comporte 4  affirmations repérées par les lettres a, b, c et d
Vous devez indiquer pour chacune d'elles si elle est vraie ou fausse.
Dans le cas où la reponse est vraie vous n'avez rien a justifier, alors que si la reponse est fausse vous devez indiquer l'erreur et donner une version exacte.

a) On considère le raisonement suivant:
"Pour tout x de *, (1+x)ⁿ
1+nx  car c'est vrai pour n=1 et si c'est vraie pour n alors:  
(1+x)ⁿ⁺¹(1+nx)(1+x)
                   1+(n+1)x+nx²
                   1+(n+1)x

C'est vraie pour n+1, par récurence on obtient que pour tout n de *  (1+x)ⁿ1+nx
En particulier pour x=1/(n)  On obtient
(1+(1/n))ⁿ1+n
Comme lim (1+n)=+
    n+
On en deduit que
lim (1+(1/n))ⁿ=+




b) On considère la fonction f définie sur * par f(x)=xlnx si x>0 et f(0)=0. On considère le raisonement suivant:
F est continue sur * comme produit de fonctions continues sur *.
De plus comme lim(xlnx)=0=f(0)
             n0
C'est que f est continue en 0. Il s'ensuit que f est continue sur * et donc dérivable sur *  




c) Soit la fonction définie sur D=]-;-1[]1;+  par:
f(x)= xln((x-1)/(x+1)).
On considère le raisonemment suivant:
f est définie et derivable sur D car composée par des fonctions définies et derivables sur D. Pour x€D, on peut ecrire
f(x)= x[ln(x-1)-ln(x+1)]
Et on obtient alors:
f'(x)=ln(x-1) - ln(x+1) + x((1/(x-1))/(1/(x+1)))
f'(x)=ln((x-1)/(x+1)) + (2x/((x-1)(x+1))




d) Soit Pn la phrase définie sur par "4ⁿ+1 est divisible par 3"
On considère le raisonement suivant:
Supposons qu'il existe n₀€ tel que Pn₀ soit vraie.
Montrons que P_n0+1 est vraie
Puisque P_no est vraie il existe k€ tel que 4^no+1=3k
On a alors:
4^no+1=4*4^no+1
4^no+1=3*4^no+4^no+1
4^no+1=3*4^no+3k
4^no+1=3(4^no+k)
Ceci prouve que 4^no+1+1 est un multiple de 3 et donc que P^no+1 est vraie.
On en deduit que quel que soit n€, Pn est vraie




Et voilà, tout y est enfin j'espère!J'espère aussi ne pas mettre tromper en recopiant!
Parce que là, ça donne un mal de tete incroyable! ça fait un moment que je tourne ce problème dans tous les sens mais je trouve rien! Je dois pas eter loin, mais je cherche trop compliqué d'après les profs! J'espère vraiment que vous pourrez m'aider, parce que là, je vais abndonner, j'en peux plus!
Merci  d'avance a tous ceux qui se pencheront sur mon problème!