Raisonnement par l'absurde

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Raisonnement par l'absurde
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olange  10-10-19 à 22:08
Bonsoir,

Soit : La racine carrée d'un nombre irrationnel positif est un nombre irrationnel.

Voici mon travail, pourriez-vous le corriger svp ?

Soit x>0 et x∉ℚ, avec (√x)∈ℚ

Alors (√x)=p/q, avec p et q deux entiers relatifs positifs, q ≠ 0.

Donc (√x)2 = (p/q)2, donc x = (p2/q2)

Puisque (p2/q2) est un nombre positif puisque ses deux quotients sont des carrés, alors cela est absurde car x∉ℚ.

Merci 
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olangere : Raisonnement par l'absurde  10-10-19 à 22:09
Je me rends compte que ma dernière phrase n'a pas trop de sens, je ne me suis pas relu  désolé
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Zormuchere : Raisonnement par l'absurde  10-10-19 à 22:16
Bonjour

le raisonnement est bon, faudra juste modifier la dernière phrase de conclusion qui est un peu... bancale
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jsvdbre : Raisonnement par l'absurde  10-10-19 à 22:30
Bonjour olange.

C'est bon mais c'est encore un faux raisonnement par l'absurde (dans la mesure où l'hypothèse  n'intervient nulle part dans le cœur de ton raisonnement.)

Et ce que tu as fait revient donc à ceci : 

Soit   :

la relation  est triviale.

On a donc . 

Et par contraposée 
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Zormuchere : Raisonnement par l'absurde  10-10-19 à 22:53
En soi, l'hypothèse de l'irrationnalité de x entre en contradiction avec le fait qu'il existe  tels que 

à voir comme on le veut
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carpediemre : Raisonnement par l'absurde  10-10-19 à 23:24
salut

olange a simplement écrit : 

nul besoin d'écrire tout le charabia qui précède cela pour créer un faux raisonnement par l'absurde ...
 Posté par 
carpediemre : Raisonnement par l'absurde  10-10-19 à 23:26
carpediem @ 10-10-2019 à 23:24

salut

olange a simplement écrit :   ce qui est une tautologie puisque Q est un corps

nul besoin d'écrire tout le charabia qui précède cela pour créer un faux raisonnement par l'absurde ...
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Zormuchere : Raisonnement par l'absurde  10-10-19 à 23:27
justement, , c'est la contradiction. Si l'auteur veut faire un raisonnement par l'absurde même si ce n'est pas le plus efficace, je ne vois pas en quoi celui-là n'en est pas un
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jsvdbre : Raisonnement par l'absurde  10-10-19 à 23:35
Oui, on est bien d'accord, c'est un raisonnement qui commence avec l'hypothèse  et se termine par  . 

Ce qui crée une contradiction en pure illusion d'optique car nulle part dans le corps de la démonstration, on utilise de façon vitale que .

Et donc, en réalité, on a juste utilisé l'hypothèse  et terminé par , ce qui est un raisonnement direct, puis on a contraposé pour répondre précisément au problème posé.
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carpediemre : Raisonnement par l'absurde  10-10-19 à 23:39
Zormuche @ 10-10-2019 à 23:27

justement, , c'est la contradiction. Si l'auteur veut faire un raisonnement par l'absurde même si ce n'est pas le plus efficace, je ne vois pas en quoi celui-là n'en est pas un
parce que cela ne permet pas d'apprendre à raisonner et masque la clarté et la limpidité par des contours et détours inutiles et font croire que l'on pense ...

supposons 1 = 2

or 1 = 1

donc c'est contradictoire donc 1  2

et voila un beau raisonnement par l'absurde pour montrer que 1 n'est pas 2 ...

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jsvdbre : Raisonnement par l'absurde  10-10-19 à 23:43
Autrement dit, pour faire un vrai raisonnement par l'absurde, il faut utiliser dans le corps de la démonstration l'hypothèse contrevenante.

Si je veux démontrer que A implique B par l'absurde, je pose comme hypothèse A et non B et je me sers des deux dans le corps de ma démonstration, aux fin d'aboutir à une contradiction.

Certes, je peux toujours poser A et non B et terminer par montrer B, mais si je n'ai pas utilisé non B dans ma démonstration, alors il ne fallait pas poser non B comme hypothèse et j'ai donc montré directement A implique B. Et ça crée un infecte charabia qui 
Citation :
masque la clarté et la limpidité par des contours et détours inutiles et font croire que l'on pense ... 
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lefou666re : Raisonnement par l'absurde  12-10-19 à 15:30
Bonsoir,

Voici ce qu'Olange voulait dire:

Soit x > 0 et x  Q.

Supposons x  Q

alors on aurait x = p/q avec p , q entiers relatifs positifs et q non nul.

Donc (x)² = (p/q)², donc x = p² / q².

Or p   Z donc p²   Z 

De même q  Z*  donc q²  Z *

Donc on aurait alors x  Q, ce qui contredit l'hypothèse de départ.

Donc  x  Q.

Donc par l'absurde, on conclut que la racine carrée d'un irrationnel positif est irrationnel.

Bref, ce qu'a marqué Olange était presque bon , bien que pas très bien rédigé. 
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carpediemre : Raisonnement par l'absurde  12-10-19 à 16:41
certes ... mais c'est d'un superfétatoire ... et tellement abscons que ça ne permet pas de comprendre toute la richesse du raisonnement par l'absurde quand il est nécessaire
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jsvdbre : Raisonnement par l'absurde  12-10-19 à 18:09
Et encore un faux Raisonnement par l'absurde ; Et avec une double contraposition finale qui tente désespérément un maquillage pour essayer de faire croire que ...

Car encore une fois, une des deux hypothèses n'a pas été utilisée de façon vitale dans le corps de la démonstration.
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lefou666re : Raisonnement par l'absurde  12-10-19 à 19:00
Jsvdb, 

Bien sûr que j'ai utilisé les deux hypothèses:

x  Q et x  Q (ton A et non B).

Et toi, comment démontrerais-tu par l'absurde que la racine carrée d'un irrationnel positif est un nombre irrationnel ?
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olangere : Raisonnement par l'absurde  12-10-19 à 19:08
Bonsoir,

Donc finalement tout est faux ? Je n'y comprends plus rien.
 Posté par 
carpediemre : Raisonnement par l'absurde  12-10-19 à 19:22
non ce n'est pas faux mais superfétatoire et artificiel !!!

lefou666 @ 12-10-2019 à 19:00

Jsvdb, 

Bien sûr que j'ai utilisé les deux hypothèses:

x  Q et x  Q (ton A et non B).

Et toi, comment démontrerais-tu par l'absurde que la racine carrée d'un irrationnel positif est un nombre irrationnel ?
 je ne le fais pas parce que c'est pédagogiquement stupide !!!

si   alors  car le produit de deux rationnels est un rationnel !!!

et donc on a travaillé avec un raisonnement par contraposée et non pas par l'absurde !!
 Posté par 
jsvdbre : Raisonnement par l'absurde  12-10-19 à 19:25
Non, dans le corps de démonstration tu n'utilises que  pour conclure que . (Et ça c'est trivial parce que  est un corps, pas besoin de long discours.)

Nulle part dans le corps de démonstration tu n'utilises le fait que . 

Tu ne le dis que dans la conclusion.

Autrement dit, tu n'aurais pas supposé  que ça n'aurait rien changé à la démonstration.

Conclusion : je ne m'emm***e pas avec une démonstration par l'absurde à ce niveau.

Et ça tient en 2 petites lignes :

On a donc  car  est stable par multiplication.

Et par contraposée 

Tir ... terminé !
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ThierryPomare : Raisonnement par l'absurde  12-10-19 à 20:39
Bonsoir,

Soit  tel que . Partant, l'on a clairement que  (vu que l'on n'a pas ), laquelle est par contraposition équivalente à  ; d'où  en se servant de l'hypothèse.
  Posté par 
claudiopanare : Raisonnement par l'absurde  15-10-19 à 11:09
Bonjour,

Pourquoi faire simple ?

Si on suppose que la racine carrée d'un irrationnel est un rationnel : a=p/q

Et a=(p/q)²  est un rationnel