Niveau terminale

Raisonnement par récurrence

Posté par
ZcuD 13-09-04 à 10:11

Bonjour à tous ,

J'ai un petit probleme pour ce qui concerne un exo sur les raisonnements par recurrence. Ce serait super gentil a vous de m'aider:

Demontrer par recurrence que pour tout n superieur ou egal a 1 :
$\rm~\displaystyle\sum_{k=1}^nk^3~=~(\displaystyle\sum_{k=1}^nk)^2$

Merci d'avance

Posté par guille64 (invité)re : Raisonnement par récurrence 13-09-04 à 13:46

bonjour,

Démontrer par récurrence ce sont toujours les mêmes 3 étapes :

1)Montrer que la propriété est vraie au rang 1

$\Bigsum_{k=1}^1~k^3 = 1^3 = 1$
$(\Bigsum_{k=1}^1~k)^2 = 1^2 = 1$

donc propriété vraie au rang 1
(On peut toujours tester le rang 2 pour s'en convaincre et voir comment fonctionne les sommes... C'est juste un conseil si on devait rester bloquer)

2)Montrons que la propriété est vraie au rang n+1 dés lors qu'elle est vraie au rang n
Posons donc que la propriété est vraie au rang n. Ainsi on a :

$\Bigsum_{k=1}^n~k^3 = (\Bigsum_{k=1}^n~k)^2$

QU'en est-il au rang n+1 ?
$\Bigsum_{k=1}^{n+1}~k^3 = \Bigsum_{k=1}^n~k^3 + (n+1)^3$
et
$(\Bigsum_{k=1}^{n+1}~k)^2 = (\Bigsum_{k=1}^n~k + (n+1))^2$
c'est une identité remarquable de type (a+b)²...

$(\Bigsum_{k=1}^{n+1}~k)^2 = (\Bigsum_{k=1}^n~k)^2 + 2(n+1)\times\Bigsum_{k=1}^n~k + (n+1)^2$

or on sait que : $\Bigsum_{k=1}^n~k = \frac {n(n+1)}{2}$ c'est la somme de n premiers entiers (résultat de première sui je ne me trompe pas)
donc

$(\Bigsum_{k=1}^{n+1}~k)^2 = (\Bigsum_{k=1}^n~k)^2 + 2(n+1) \times \frac {n(n+1)}{2} + (n+1)^2$

$(\Bigsum_{k=1}^{n+1}~k)^2 = (\Bigsum_{k=1}^n~k)^2 + (n+1)n(n+1) + (n+1)^2$

$(\Bigsum_{k=1}^{n+1}~k)^2 = (\Bigsum_{k=1}^n~k)^2 + n(n+1)^2 + (n+1)^2$

Extrayons et Développons $n(n+1)^2 + (n+1)^2$
$n(n+1)^2 + (n+1)^2 = n(n^2 + 2n +1) + n^2 + 2n +1$
$n(n+1)^2 + (n+1)^2 = n^3 + 2n^2 + n + n^2 + 2n + 1$
$n(n+1)^2 + (n+1)^2 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1$
On reconnaît le développement de (n+1)³
$n(n+1)^2 + (n+1)^2 = (n+1)^3$

Donc nous avons :

$(\Bigsum_{k=1}^{n+1}~k)^2 = (\Bigsum_{k=1}^n~k)^2 + (n+1)^3$

Or nous avons posé comme hypothèse de départ :
$\Bigsum_{k=1}^n~k^3 = (\Bigsum_{k=1}^n~k)^2$

Donc
$(\Bigsum_{k=1}^{n+1}~k)^2 = \Bigsum_{k=1}^n~k^3 + (n+1)^3$

Autrement dit
$(\Bigsum_{k=1}^{n+1}~k)^2 = \Bigsum_{k=1}^{n+1}~k^3$
$CQFD$

3)CONCLUSION
1- nous avons montré que la propriété était vérifié au rang 1
2- nous avons montré qu'elle était vérifiée au (n+1) si le rang n était vrai

Donc la propriété est vérifiée!
$\Bigsum_{k=1}^n~k^3 = (\Bigsum_{k=1}^n~k)^2$
est vraie!

Voilà
Dire si pb

à bientôt

Guille64

Posté par re : Raisonnement par récurrence 13-09-04 à 17:59

Merci beaucoup guille64 , ton aide m'a était précieuse, c'est de ta part d'avoir répondu.

Encore merci et bonne continuation à tous!

Posté par Méthode 2)

13-09-04 à 18:31

Salut à tous ,

Tout d'abord bravo et merci (ZcuD étant un de mes potes ) à guille64 pour son raisonnement par récurrence .

Cependant, je vais tout de même poster ma manière de résoudre cet exercice, qui me parait moins longue, et peut-être plus simple (après tout dépend de chacun ). C'est parti :

Soit $P_n$ la propriété suivante :

$\rm~\displaystyle\sum_{k=1}^nk^3~=~\Big(\sum_{k=1}^nk\Big)^2$

On va démontrer $P_n$ est vraie pour tout $\rm~n~\geq~1$ par récurrence.

Initiallisation
Pour n=1, on a :

$\rm~\displaystyle\sum_{k=1}^1k^3~=~1^3~=~1$
et
$\rm~\Big(\displaystyle\sum_{k=1}^1k\Big)^2~=~1^2~=~1$

Au rang n=1, $P_n$ est bien vérifiée.

Hérédité
Démontrons que si la propriété $P_n$ est vraie au rang "n", alors elle l'est aussi au rang "n+1".
Supponsons $P_n$ vraie, càd :

$\rm~\displaystyle\sum_{k=1}^nk^3~=~\Big(\sum_{k=1}^nk\Big)^2$

On a par suite :

$\rm~\displaystyle\sum_{k=1}^nk^3~=~\Big(\sum_{k=1}^nk\Big)^2$
$\rm~\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}k^3~=~\Big(\sum_{k=1}^nk\Big)^2~+~(n+1)^3$
$\rm~\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}k^3~=~\Big(\frac{n(n+1)}{2}\Big)^2~+~(n^2+2n+1)(n+1)$
$\rm~\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}k^3~=~\Big(\frac{n^2(n^2+2n+1)}{4}\Big)~+~(n^2+2n+1)(n+1)$

On fait tout passer au même dénominateur :
$\rm~\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}k^3~=~\frac{n^2(n^2+2n+1)+4(n^2+2n+1)(n+1)}{4}$

On factorise par (n²+2n+1) :
$\rm~\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}k^3~=~\frac{(n^2+2n+1)(n^2+4(n+1))}{4}$
$\rm~\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}k^3~=~\frac{(n^2+2n+1)(n^2+4n+4))}{4}$
$\rm~\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}k^3~=~\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{2^2}$
$\rm~\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}k^3~=~\Big(\frac{(n+1)(n+2)}{2}\Big)^2$

On reconnait la formule pour calculer la somme des termes d'une suite arithmétique de premier terme 1, de dernier terme n+1 et de raison 1. On a donc :

$\rm~\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}k^3~=~\Big(\sum_{k=1}^{n+1}k\Big)^2$

Ce qui traduit bien que la propriété $P_n$ est vérifiée au rang "n+1" si elle est vraie au rang "n".

CONCLUSION : Ainsi, $P_n$ est vérifiée pour n=1, et est héréditaire. On a donc pour tout $\rm~n~\geq~1$ :

$\rm~\displaystyle\sum_{k=1}^nk^3~=~\Big(\sum_{k=1}^nk\Big)^2$

Voili, voilou .
Je remercie encore une fois guille64 .

À +

Posté par guille64 (invité)re : Raisonnement par récurrence 13-09-04 à 20:41

Je vois po où c'est plus simple et moins long lol
Je te charie

Mais c'est une belle manière...

à bientôt

Guille64

Posté par guille64 (invité)re : Raisonnement par récurrence 13-09-04 à 20:43

Oui et surtout... content de voir que nous avons pu t'aider ZcuD

à +

Guille64

Posté par

13-09-04 à 20:52

Lol guille64 ,

En fait, le truc, c'est que sur ma feuille ça faisait bien moins long (je détaille tjours plus sur l'ile ).

Et c'est vrai que tout bien réfléchi, ma manière n'est pas plus simple que la tienne, c'est juste que j'ai la flemme d'écrire le symbole $\sum$ , donc je le vire dès le début, et puis je m'arrange avec mes factorisations .

C'est deux méthodes différentes, toutes deux aussi justes et intéressantes l'une que l'autre .

À +

Posté par re : Raisonnement par récurrence 13-09-04 à 21:07

Oui, et elles m'ont autant aidé l'une que l'autre .

Merci à tous les deux.

A plus

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