Niveau terminale

Raisonnement par Récurrence

Posté par korben (invité) 20-09-04 à 21:47

Bonsoir tout le monde!
J'ai un petit exercice à vous soumettre un petit peu compliqué pour ma petite tête je l'avoue.

Alors celui qui voudra bien m'aider sera le bienvenue!

a) On note 1*2*3.......*n = n! (et on lit «factorielle » n).

Démontrez par récurrence que, pour tout entier naturel n1, on a : n!2^n-1

b) Démontrez que , pour tout entier naturel n, l'entier 3²ⁿ - 2ⁿ est un multiple de 7.

Merci d'avance,

Posté par re : Raisonnement par Récurrence 20-09-04 à 22:04

Bonjour

Je te fais le premier :

Déja vérifions la propriété pour n=1

1!=1
$2^{1-1}=1$ on a donc bien $1!\ge2^{1-1}$

Supposons la propriété vrai au rang n . alors elle est vraie au rang (n+1) <=> $(n+1)!\ge2^{n}$

(n+1)!=n!(n+1) .
Or , d'aprés la propriété au rang n : $n!\ge2^{n-1}$ donc $n!(n+1)\ge2^{n-1}(n+1)$

Il faudrait maintenant prouver que $2^{n}\le2^{n-1}(n+1)$ pour $n\ge1$

On sait que $2^{n}=2^{n-1}\times2$

or , pour tout $n\ge1$ , $2\le(n+1)$ donc on a bien :
$2^{n}\le2^{n-1}(n+1)$

On en déduit que : $(n+1)!\ge2^{n}$ donc par récurrence la propriété P(n) est vraie

Posté par Pour le second

20-09-04 à 22:56

Salut Korben ,

Voici le second . Soit $P_n$ la propriété : "pour tout $\rm~n~\in~~\mathbb{N}$ , on a $\rm~3^{2n}-2^n$ est un multiple de 7, ce qui revient à dire que pour $\rm~k~\in~~\mathbb{N}$ , on a $\rm~3^{2n}-2^n~=~7k$ "

INITIALLISATION : Au rang n=0, on a bien :

$\rm~3^{2\times0}-2^0~=~1-1~=~0$

Or 0 est bien un multiple de 7. Donc au rang n=0, $P_0$ est vraie.

HÉRÉDITÉ : Prouvons que la propriété $P_n$ est héréditaire.
Supposons $P_n$ vraie, c'est-à-dire que pour $\rm~k~\in~~\mathbb{N}$ , on a :
$\rm~3^{2n}-2^n~=~7k$

Au rang "n+1" on a donc :

$\rm~3^{2(n+1)}-2^{n+1}~=~3^{2n+2}-2^{n+1}$
$\rm~3^{2(n+1)}-2^{n+1}~=~3^2(3^{2n})-2^{n+1}$

Ici on va fare apparaître notre hypothjèse de récurrence dans la parenthèse, en soustrayant $2^n$ , mais pour que l'égalité reste valable, il faudra réajouter ce $2^n$ multiplié par $3^2$ (puisqu'on le fait apparaitre dans la parenthèse) :

$\rm~3^{2(n+1)}-2^{n+1}~=~3^2(3^{2n}-2^n)-2^{n+1}+2^n\times3^2$
$\rm~3^{2(n+1)}-2^{n+1}~=~9(3^{2n}-2^n)-2^{n+1}+2^n\times9$

Ici je vais factoriser es deux derniers termes par $2^n$ :

$\rm~3^{2(n+1)}-2^{n+1}~=~9(3^{2n}-2^n)+2^n(-2+9)$
$\rm~3^{2(n+1)}-2^{n+1}~=~9(3^{2n}-2^n)+2^n(7)$

Or selon notre hypothèse de récurrence, $\rm~3^{2n}-2^n$ est un multiple de 7, et on a pour $\rm~k~\in~~\mathbb{N}$ : $\rm~3^{2n}-2^n~=~7k$ . On a donc :

$\rm~3^{2(n+1)}-2^{n+1}~=~9(7k)+2^n(7)$
$\rm~3^{2(n+1)}-2^{n+1}~=~7(9k+2^n)$

Ceci traduit que la propriété $P_{n+1}$ est vérifiée.

CONCLUSION : $P_n$ est vérifiée pour n=0 et est héréditaire, donc pour tout $\rm~n~\in~~\mathbb{N}$ , $\rm~3^{2n}-2^n$ est un multiple de 7.

Voilà

À +

Posté par korben (invité)Double Merci 22-09-04 à 18:33

Attention je tire une raffale de MERCI

Vous êtes supers les gars c'est très sympa de votre part!

Je vous mets un 20/20 +

@+

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