1) Initialisation

On teste avec n=0 :
4^0-1-3*0 = 0 et 0 est bien divisible par 9

Initialisation OK

2) On suppose que 4^n - 1 - 3n est divisible par 9 (par hypothèse), et on veut montrerque 4^(n+1) - 1 - 3(n+1) est divisible par 9

4^(n+1) - 1 - 3(n+1)
= (4^n) x 4 - 1 - 3n - 3
= 4 x 4^n - 4 -3n
= 4 (4^n -1) - 3n
=  4 (4^n -1 +3n - 3n) - 3n      ----- L'astuce est là
= 4 (4^n -1 -3n)+ 4 x 3n -3n
= 4 (4^n -1 -3n) + 12n - 3n
= 4 (4^n -1 -3n) +9n

or, par hypothèse, on sait que (4^n -1 -3n) est divisible par 9, donc 4x (4^n -1 -3n) est aussi divisible par 9.
De plus, comme n     alors 9n est aussi divisible par 9.

Quelque chose divisible par 9 + quelque chose divisible par 9 est divisible par 9

3) Conclusion

La propriété P(n) : "4^n - 1 - 3n est divisible par 9" est vraie pour tout n

ok merci beaucoup ...

mais je ne comprend plus trop le raisonnement à partir de :

=  4 (4^n -1 +3n - 3n) - 3n      ----- L'astuce est là
= 4 (4^n -1 -3n)+ 4 x 3n -3n

pourquoi avoir rajouté (+3n -3n) ?
et la 2e ligne je n'a pas compris comment tu as sorti le (3n) de la parenthese ...
:S

peux-tu m'expliquer ?

ok merci beaucoup ...

mais je ne comprend plus trop le raisonnement à partir de :

=  4 (4^n -1 +3n - 3n) - 3n      ----- L'astuce est là
= 4 (4^n -1 -3n)+ 4 x 3n -3n

pourquoi avoir rajouté (+3n -3n) ?
et la 2e ligne je n'a pas compris comment tu as sorti le (3n) de la parenthese ...
:S

peux-tu m'expliquer ?