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Raisonnement par récurrence
Bonjour, bonsoir à tous!
Je suis nouvelle (en terminale S) sur ce site pour une petite aide concernant un exercice de raisonnement par récurrence. J'ai cherché pour voir si cet exercice était déjà posé, je n'ai pas trouvé. Si c'est le cas, veuillez m'excuser, je chercherai plus longtemps la prochaine fois :/
Revenons à cet exercice, voici l'énoncé:
1) On note 1x2x3x...xn=n! (et on lit "factorielle" n)
Démontrez par récurrence que, pour tout entier naturel n>=1, on a: n!>=2^n-1
2) Démontrez que, pour tout entier naturel n, l'entier 3^2n-2^n est un multiple de 7.
Pour la question 1), je pensais quelque chose de se genre:
Initialisation: n0=1 or 2^1-1=2^0=1 donc la propriété est vraie pour le rang n0
Et là pour l'hérédité je vois pas trop...
Pour la question 2), il me faudrait une piste pour démarrer, parce que je ne vois pas du tout. Il faut calculer le nombre?
Merci de votre aide.
Amicalement, prunepeople
PS: comment peut on faire pour écrire correctement les formes mathématiques sur le forum?
Démontrez par récurrence que, pour tout entier naturel n>=1, on a: n!>=2^n-1
n!
2n-1 <-- c'est ça qu'il faut montrer ?Initialisation: vraie pour le rang 1
Ensuite
Hypothèse de récurrence: Pn: n!2n+1
(n+1)!=(n+1)n!
Or n!2n+1
et (n+1)2
Donc.... ?
Erreur de frappe, je refais:
Hypothèse de récurrence: Pn: n!2n-1
(n+1)!=(n+1)n!
Or n!2n-1
et (n+1)2
Donc (n+1)n!2
2n-1
donc (n+1)!2n cqfd
donc la propriété est est au rang n+1
concl: .........
On a donc pour tout entier naturel n>=1, n!>=2^(n-1): propriété démontrée!
Merci de votre aide! 
Je n'aurai pas pensé à faire quelque chose de ce genre toute seule ^^
Et donc pour la 2), il faut calculer l'entier 3^(2n)-2^n ?
Et donc pour la 2)
tu vas essayer de penser à faire quelque chose de ce genre toute seule
Commence par l'initialisation, c'est facile.
Comme il faut montrer que la propriété est vraie pour tout n, tu fais pour n=0
D'accord 
Donc on doit là aussi faire un raisonnement par récurrence...
Initialisation: pour n0=0, on a 3^(3n)-2^n=0 donc la propriété est vraie pour le rang n0
Hérédité: pour n=1, on a 3^2-2^1=7 donc la propriété est vraie pour le rang n
Et là exactement, on fait comment pour le n+1?
Ok pour l'initialisation. Précise quand même que 0 est un multiple de 7.
L'hérédité consiste à supposer que la propriété est vraie au rang n (n étant quelconque), et montrer qu'alors elle est vraie au rang n+1.
donc tu ne dois pas poser n=1.
Tu pars d'une hypothèse de récurrence Pn qui est la propriété que tu veux montrer.
Comment tu la formulerais?
Eh bien Pn: "3^(2n)-2^n est un multiple de 7"
On a démontré que Pn est vraie pour n0 (initialisation)
On suppose donc P(n+1): "3^(2*(n+1))-2^(n+1) est un multiple de 7"
Comme ça?
Et si après on met: 3^(2n+2)>=81 et 2^(n+1)>=4 donc 3^(2n+2)-2^(n+1) est un multiple de 7 donc P(n+1) vraie.
Ca marche où il faut vraiment pas poser des nombres (comme 81 ou 4...)
Non.
Ce que tu supposes, c'est Pn: 32n-2n est multiple de 7
Ce que tu veux montrer c'est Pn+1: 32(n+1)-2n+1 est multiple de 7
ok?
Dire que 32n-2n est multiple de 7 revient à écrire:
32n-2n=7k avec k entier
T'es d'accord avec ça ?
Oui, ca parait logique.
Je vais devoir faire une pause pour aller manger, je reviens juste après, en attendnat je vais réfléchir pour la question. Merci
En fait ça ne sera pas le même k que celui de l'hypothèse de récurrence.
Disons qu'il faut que tu montres que : 32(n+1)-2n+1=7k'
Et pour montrer ça il faut que tu utilises ton hyp. de récurrence, c'est a dire 32n-2n=7k
Alors décompose ça: 32(n+1)-2n+1, de façon à faire apparaître 32n-2n dedans
Eh bien: 3^2(n+1)-2^n+1 = 3^2nx3^2-2^nx2^1 = (3^2n - 2^n)x 3^2-2^1 ... Mais je suis pas sur qu'on a le droit de simplifier comme ça...
Tu pourrais écrire en utilisant les puissances? c'est pénible à lire comme ça.
C'est une des touches qui sont juste en dessous du cadre ou tu écris.
32(n+1)-2n+1
=32n9 - 2n2
=32n2 + 32n7 - 2n2
=....
= (32n-2n[sup])2+3[sup]2n[sup]x7
donc (3[sup]2n-2n[sup])= -(3[sup]2n[sup]x7)
d'où k'=3[sup]2n[sup]
On a donc bien démontré la propriété au rang n+1. Donc, l'entier 3[sup]2n-2[sup]n[sup]est un multiple de 7
Ah! Erreur de ma part!
= (32n-2n)2+32nx7
donc (32n-2n)= -(32nx7)
d'où k'=32n
On a donc bien démontré la propriété au rang n+1. Donc, l'entier 32n-2nest un multiple de 7
Ouii! C'est bon j'ai compris! Donc Pn vraie au rang n+1 aussi.
Merci, j'ai tout compris de l'exercice grâce à vous! Merci encore!
Est ce qu'il faut fermer le post ou quelque chose de ce genre?
Non.
Il faut juste éteindre la lumière en quittant la pièce.
x]
J'aurai deux autres petits raisonnements par récurrence pour une suite...
Soit la suite Un=(n²+2)/n pour n>=1
- Montrer qu'à partir d'un certain rang n0, à déterminer, tous les termes de la suite appartiennent à l'intervalle ]10;+inf[
- Soit A un réel aussi grand que l'on veut (on peut supposer A>=10), montrez qu'à partir d'un certain rang n0, à déterminer en fonction de A, tous les termes de la suite appartiennent à l'intervalle ]A;+inf[
Donc Pn: "Un=(n²+2)/n appartiennent à l'intervalle ]10;+inf["
Mais le problème c'est que lorsque l'on fait à l'initialisation n0=1 on obtient Un0=3
Ou alors il faut chercher le premier entier pour que Pn0 soit vraie?
- Montrer qu'à partir d'un certain rang n0, à déterminer, tous les termes de la suite appartiennent à l'intervalle ]10;+inf[
Il n'y a pas besoin de récurrence pour montrer ça.
Tu cherches n tel que un>10
c-à-d tel que (n²+2)/n>10 <--- résouds cette inéquation
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