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raisonnement par récurrence

Posté par
rosie
11-09-13 à 14:12

bonjour

voici l'énoncer de l'exercice auquel j'ai des difficultés;

On considère la suite (Un définie pour tout n de N par:

U0=3 et Un+1=(4Un-2)/(Un+1)

1)soit f la fonction définie sur [1; +\infty[ par f(x)=(4x-2)/(x+1)
a)Etudier les variations de f sur [1; +\infty[
b)En déduire que, pour tout x de [1; + \infty[, f(x)> ou égale 1.
2)démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, Un > ou égal à 1.
3) démontrer par récurrence que la suite (Un) est décroissante.

Aide: question 2 et 3. Remarqué que Un+1= f(un) et utiliser la question 1.

ce que j'ai fais:
1)a) f(1)= (4*1-2)/(1+1) = 1

( je c pas si il est nécessaire de calculer la dérivé de f) f'(x)= 4

pour le tableau de valeur je l'ai fait dans x j'ai mis de 1 à + infini , f'(x) j'ai mis +, puis f(x) j'ai mis une flèche  croissante ( sa marche pas quand je met le tableau en fait)
b) f(x) > ou égale à 1 car f(1)=1 et c'est croissant jusqu'à + infini

2)initialisation: on à U0=3 ,
U0> ou égal à 1 = 3> ou égal à 1 donc vrai qu rang 0.

hérédité: je suppose que Un > ou égale à 1 pour un certain rang n.
          on veut montrer que Un+1 > ou égale à 1
( je met > pour dire > ou égale sinon c'est long)

Un>1
4un > 4
4Un-2 > 4-2
4Un-2)/(Un+1) > 2/(Un+1)
donc Un +1 > ou égale à 1

conclusion : on à montrer par récurrence que  pour tout n, Un < ou égale à 1

3) je ne sais pas
merci d'avance de votre aide

Posté par
malou Webmaster
re : raisonnement par récurrence 11-09-13 à 14:25

Bonjour

je saute tout ce que tu as fait

la 3
compare U0 et U1
peux-tu initier ta réccurence

suppose vraie au rang n soit Un > U(n+1)

eh bien tu peux passer au rang suivant en utiliasnat le fait que f est croissante (où il faut)

donc f(Un) > f(U(n+1))

mais ça, ça s'écrit.....

et c'st fini!

Posté par
rosie
re : raisonnement par récurrence 11-09-13 à 16:43

je voudrais savoir si ce que j'ai fais au début est juste merci

pour la 3) U1= 5/2 et U0=3 donc U0 > U1
initialisation:

hérédité: on suppose que Un> un+1 pour un certain rang n
on veut montrer que Un+1> Un+2

Un> un+1

Un>(4Un -2)/(Un+1)

un+1> ((4Un-2)/(Un+1)) +1
un+1> (5Un-1)/(Un+1)
je crois que j'ai fais n'importe quoi la

Posté par
malou Webmaster
re : raisonnement par récurrence 11-09-13 à 16:46

Citation :
je voudrais savoir si ce que j'ai fais au début est juste merci

pour la 3) U1= 5/2 et U0=3 donc U0 > U1
initialisation:

hérédité: on suppose que Un> un+1 pour un certain rang n
on veut montrer que Un+1> Un+2

Un> un+1


tout ça OK

et ensuite, tu prends les images par f de Un et Un+1
comme ils sont dans le "bon intervalle", tu sais que f est croissante, et donc que les images sont rangées dans le même ordre
OK ?

ce qui donne
f(Un)>f( un+1)
qui s'écrit
Un+1 > Un+2
et l'hérédité est démontrée

méthode à retenir ! classique !

Posté par
rosie
re : raisonnement par récurrence 11-09-13 à 22:59

merci malou c super simpas

Posté par
malou Webmaster
re : raisonnement par récurrence 12-09-13 à 07:10

de rien, bonne continuation à toi !....

Posté par
rosie
re : raisonnement par récurrence 13-09-13 à 22:08

merci , juste je voulais savoir si la réponse de la question 2 est juste merci

Posté par
malou Webmaster
re : raisonnement par récurrence 14-09-13 à 08:27

non...très dangereux les inégalités,surtout quand on veut diviser

je te conseille d'écrire ta propriété

Un1

tu l'écris : Un - 10

et pour l'hérédité, tu cherches le signe de Un+1 - 1

beaucoup moins dangereux ! et beaucoup plus sûr !

Posté par
rosie
re : raisonnement par récurrence 14-09-13 à 19:23

oui mais quand je fais
Un+1 -1 >ou égale à 0
((4Un-2)/(Un+1)) -1 >ou égale à 0
(4 Un -2 -Un+1)/Un+1>ou égale à 0
(3Un-1)/( Un+1)> ou égale à 0

et que devient le Un je suis perdu la

Posté par
rosie
re : raisonnement par récurrence 14-09-13 à 19:32

en fait même la question 3 j'ai pas compris comment tu démontre que Un est décroissante

Posté par
malou Webmaster
re : raisonnement par récurrence 15-09-13 à 16:53

Citation :
Un+1 -1 >ou égale à 0
((4Un-2)/(Un+1)) -1 >ou égale à 0
(4 Un -2 -Un+1)/Un+1>ou égale à 0


erreur de signe à la 3e ligne quand tu réduis au même dénominateur

- devant une barre de fraction;..attention

Posté par
Dinou31
re : raisonnement par récurrence 18-10-16 à 18:14

Moi aussi je suis perdu pour la question  3 pouvez vous me l'écrire au propre car je dois rendre mon DM demain et je viens de tomber sur cette page merci d'avance.

Posté par
malou Webmaster
re : raisonnement par récurrence 18-10-16 à 18:18

Citation :
pouvez vous me l'écrire au propre

eh non...ce ne serait pas te rendre service....
seulement que tu aies le courage d'éplucher un peu tout ce qui a été dit...



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