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Raisonnement par récurrence

Posté par
Namizo 17-09-13 à 23:13

Bonjour! =)

J'ai quelques questions à propos d'un exercice corrigé sur la récurrence, j'espère que vous me viendrez en aide merci. 

Énoncé

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul, nk=1  (2k-1)=n²
(autrement dit la somme des n premier entiers impairs est égale à n²)

nk=1  (2k-1)=n²

3k=1  (2k-1)=n²= (2*2-1)(2*3-1)
=1+3+9
=9

Soit Pn nk=1  (2k-1)=n²

Question 1 : Je ne comprends pas le calcul avec n=3. Pourquoi a-t-on changer le n en 3. Je ne sais pas si c'est en rapport avec les nombres premiers dans la consignes.

Question 2 : Puis avec (2k-1)=n²= (2*2-1)(2*3-1) =9/ Juste avant il y a 1+3+9. D'où sort le 1? Je sais que 2*2-1=4 et 2*3-1=5 mais le 1 d'ou vient-il?


Initialisation

(j'ai comprit cette étape avec P1)

Hérédité

Montrons que Pn+1est vrai.

n+1k=1  (2k-1)= nk=1 (2k-1)+(2(n+1)-1)
=n²+2n+2-1
=n²+2n+1
=(n+1)²

Question 4 : Je ne comprends pas pour la première ligne de calcul, pourquoi ajoutons (2k-1)à (2(n+1)-1)?

Conclusion

Pn par récurrence est vrai pour tout n.



Merci de m'aider!

Posté par
Cherchellre : Raisonnement par récurrence 18-09-13 à 06:29

Ton problème est que tu n'as pas compris le symbole utilisé :
lorsqu'on écrit une somme de cette façon, il s'agit en fait d'une notation abrégée : on fait la somme de tous les nombres de la forme (2 k - 1) quand k varie de 1 à n donc la somme des nombres obtenus quand on remplace successivement k par 1 puis par 2 puis par 3 jusqu'à remplacer k par n
donc qund n = 3, la somme \sum_{i=1}^3 (2k-1)=(2\times1-1)+(2\times2-1)+(2\times3-1)=9

Pour l'hérédité : la somme des termes quand k varie de 1 à (n + 1) est égale à la somme des termes quand k varie de 1 à n + le terme obtenu quand k = (n + 1)
\sum_{i=1}^{n+1} (2k-1)=\sum_{i=1}^3 (2k-1)+(2\times(n+1)-1)
le reste des calculs est bon

Posté par
sbarrere : Raisonnement par récurrence 18-09-13 à 06:36

bonjour;
pour la dernière ligne c'est somme de 1 à n et non pas de 1 à 3....
petite erreur de frappe qui risquait de créer la confusion chez Namizo

Posté par
Namizore : Raisonnement par récurrence 18-09-13 à 11:45

Bonjour!

Je vous remercie beaucoup pour vos réponses mais j'aimerai savoir pourquoi on a mit n=3 et pas un autre nombre.
je suis désolé de vous déranger avec cette question mais j'ai vraiment du mal avec ce 3.

Posté par
sbarrere : Raisonnement par récurrence 18-09-13 à 20:01

re
pas de problème ca ne dérange pas!
à dire vrai pour moi ce n=3 est un mystère...
on aurait très bien pu prendre n=1 pour l'initialisation....et ca aurait été plus logique (on prend généralement la plus faible valeur pour laquelle cela fonctionne).

Bonne soirée

Posté par
Namizore : Raisonnement par récurrence 19-09-13 à 19:00

merci beaucoup de m'avoir répondu sbarre!
Pas de soucis!
bonne soirée à toi

Posté par
sbarrere : Raisonnement par récurrence 20-09-13 à 21:05


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