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Raisonnement par récurrence

Posté par
elena117 10-10-15 à 20:49

Bonsoir à tous

Voici mon énonce:

On considère la suite (Un) définie par: pour tout n appartenant N*, Un= ∑ 1/k²

1) Montrer que (Un) est croissante.
2) Montrer par récurrence que: pour tout n≥1, Un≤2-(1/n)
3) En déduire que la suite (Un) est convergente et majorer sa limite.

Pourrais-je avoir de l'aide svp.

Merci

Posté par
mdr_nonre : Raisonnement par récurrence 10-10-15 à 20:52

bonsoir : )

oui bien sûr : ) écris nous ce que tu as déjà fait,

1) Faire U(n+1) - U(n)

2) La récurrence consiste à 3 étapes...

3) utiliser question 1) + question 2) et deux théorèmes sur les limites...

Posté par
mdr_nonre : Raisonnement par récurrence 10-10-15 à 20:53

Citation :
et deux théorèmes sur les limites...
un seul finalement,

Posté par
elena117re : Raisonnement par récurrence 10-10-15 à 22:21

Je n'ai pour le moment rien fait mais pour la 1) je ne vois vraiment pas car Un est sous forme de somme..

Posté par
cocolaricottere : Raisonnement par récurrence 10-10-15 à 22:30

Bonsoir

si on avait des précisions sur le bornes de la somme , on pourrait peut être t'aider

U_n = \sum_{k=??}^{n??}\dfrac{1}{k^2}

  

Posté par
elena117re : Raisonnement par récurrence 10-10-15 à 22:38

Dans l'énoncé il y a seulement écrit n et k=1

Posté par
mdr_nonre : Raisonnement par récurrence 10-10-15 à 22:38

pour mieux vois U(n) tu peux écrire sous forme développée,

U(n) = S[1 <= k <= n] 1/k² = 1/1² + 1/2² + ... 1/n²
on voit que U(n) est une somme composée de n termes,
c'est la somme des carrés des inverses des entiers de 1 à n.

bon par exemple :

U(1) = S[1 <= k <= 1] 1/k² = 1/1² = 1

U(2) = S[1 <= k <= 2] 1/k² = 1/1² + 1/2² = 1 + 1/4 = 5/4

U(5) = S[1 <= k <= 5] 1/k² = 1 + 1/2² + 1/3² + 1/4² + 1/5²

U(n) = S[1 <= k <= n] 1/k² = 1/1² + 1/2² + ... + 1/n²


si tu comprends, écris maintenant U(n+1) :
U(n+1) = S[1 <= k <= n+1] 1/k² = ???

Posté par
cocolaricottere : Raisonnement par récurrence 10-10-15 à 22:44

Donc

U_n = \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k^2}=\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+ .....+\dfrac{1}{n^2}

Donc U_{n+1} = ......

Donc Un+1 - Un = ????

Posté par
elena117re : Raisonnement par récurrence 10-10-15 à 22:49

U(n+1) = S[1 <= k <= n+1] 1/k²= 1/(n+1)² ??

Posté par
cocolaricottere : Raisonnement par récurrence 10-10-15 à 22:50

Bon je vais disparaître car il me semble qu'on trouble la réflexion de elena117  en répondant à des questions différentes !  

Posté par
mdr_nonre : Raisonnement par récurrence 10-10-15 à 22:51

Citation :
U(n+1) = S[1 <= k <= n+1] 1/k²= 1/(n+1)² ??
non,

as-tu compris les exemples :
Citation :
U(1) = S[1 <= k <= 1] 1/k² = 1/1²

U(2) = S[1 <= k <= 2] 1/k² = 1/1² + 1/2²

U(5) = S[1 <= k <= 5] 1/k² = 1 + 1/2² + 1/3² + 1/4² + 1/5²
?


que vaut U(3) par exemple ?

Posté par
cocolaricottere : Raisonnement par récurrence 10-10-15 à 22:55

Si U_n = \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k^2}=\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+ .....+\dfrac{1}{n^2}


Allors U_{}n+1 = \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k^2}=\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+ .....+\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{(+1)n^2}

{}

Posté par
cocolaricottere : Raisonnement par récurrence 10-10-15 à 22:58

Allors U_{n+1} = \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k^2}=\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+ .....+\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{(+1)n^2}

Et que vaut alors Un+1 - Un

Posté par
elena117re : Raisonnement par récurrence 10-10-15 à 22:58

U(3)= S[1 <= k <= 2] 1/k² = 1/1² + 1/2² + 1/3²

Posté par
elena117re : Raisonnement par récurrence 10-10-15 à 23:01

Un+1-Un = S[1 <= k <= n] 1/k² = 1 + 1/2² +...+ 1/n² - 1+ 1/2² +1/3² + ....+ /(+1)n² ??

Posté par
cocolaricottere : Raisonnement par récurrence 10-10-15 à 23:02

Décidément quand cela ne veut pas pas marcher

Allors U_{n+1} = \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k^2}=\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+ .....+\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{(n+1)^2}

Et que vaut alors Un+1 - Un

Posté par
mdr_nonre : Raisonnement par récurrence 10-10-15 à 23:04

Citation :
U(3)= S[1 <= k <= 2] 1/k² = 1/1² + 1/2² + 1/3²
presque : )

U(3)= S[1 <= k <= 3] 1/k² = 1/1² + 1/2² + 1/3²

donc U(n+1) = S[1 <= k <= n+1] 1/k² = 1/1² + 1/2² + ... + 1/(n + 1)²

Posté par
cocolaricottere : Raisonnement par récurrence 10-10-15 à 23:04

Encore une erreur

U_n = \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k^2}=\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+ .....+\dfrac{1}{n^2}

U_{n+1} = \sum_{k=1}^{n+1}\dfrac{1}{k^2}=\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+ .....+\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{(n+1)^2}

Et que vaut alors Un+1 - Un ?

Posté par
elena117re : Raisonnement par récurrence 10-10-15 à 23:07

Un+1-Un = 1/1² + 1/2² +....+ 1/(n+1)² - 1/1² + 1/2² +.....+ 1/n²

J'espère que c'est correcte c'est fois si.

Posté par
mdr_nonre : Raisonnement par récurrence 10-10-15 à 23:08

Citation :
Un+1-Un = 1/1² + 1/2² +....+ 1/(n+1)² - 1/1² + 1/2² +.....+ 1/n²

J'espère que c'est correcte c'est fois si.
il manque juste des parenthèses,

U(n+1) - U(n) = 1/1² + 1/2² + ... + 1/(n + 1)² - (1/1² + 1/2² + ... + 1/n²)

ok, maintenant, tu peux simplifier, il y a des termes qui n'annulent non ?

Posté par
cocolaricottere : Raisonnement par récurrence 10-10-15 à 23:10

Bon on reprend depuis le début :

Pour montrer que la suite est croissante ou décroisante, il faut étudier le signe de Un+1 - Un

Avec U_n = \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k^2}=\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+ .....+\dfrac{1}{n^2}

et U_{n+1} = \sum_{k=1}^{n+1}\dfrac{1}{k^2}=\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+ .....+\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{(n+1)^2}

Donc  Un+1 - Un = quoi ?

Posté par
elena117re : Raisonnement par récurrence 10-10-15 à 23:10

oui 1/1², 1/2²

Posté par
cocolaricottere : Raisonnement par récurrence 10-10-15 à 23:16

pour Un+1 - Un  on choisit entre 1/1² et  1/2²  en fonction de son âge , de son signe du zodiaque de la dernière fois où on a vu la lune ?

Posté par
cocolaricottere : Raisonnement par récurrence 10-10-15 à 23:18

Bonne nuit !

Posté par
elena117re : Raisonnement par récurrence 11-10-15 à 09:07

Quand je disais 1/1² et 1/2² je m'adressais à " mdr_non ", dsl je n'avais pas vu votre question.

Posté par
elena117re : Raisonnement par récurrence 11-10-15 à 09:13

Un+1-Un= 1/(n+1)² - 1/n² ??

Posté par
mdr_nonre : Raisonnement par récurrence 11-10-15 à 09:53

regarde ce que vaut U(n)

U(n) = 1/1² + 1/2² + 1/3² + .... + 1/(n - 2)² + 1/(n - 1)² + 1/n²

et U(n+1)

U(n+1) = 1/1² + 1/2² + 1/3² + ... + 1/(n - 2)² + 1/(n - 1)² + 1/n² + 1/(n + 1)²


Quand maintenant on fait la différence entre U(n+1) et U(n), on obtient :
U(n+1) - U(n) = 1/1² + 1/2² + 1/3² + ... + 1/(n - 2)² + 1/(n - 1)² + 1/n² + 1/(n + 1)² - (1/1² + 1/2² + 1/3² + .... + 1/(n - 2)² + 1/(n - 1)² + 1/n²)

La partie commune à U(n+1) et U(n) est mise en rouge, quand on fait la différence elle disparait (vaut 0)

donc U(n+1) - U(n) = 1/(n + 1)²



Si tu as du mal à le voir, tu peux essayer avec des valeurs numériques,

U(1) = S[1 <= k <= 1] 1/k² = 1/1²

U(2) = S[1 <= k <= 2] 1/k² = 1/1² + 1/2²

DONC U(2) - U(1) = 1/1² + 1/2² - (1/1²) = 1/2²



U(2) = S[1 <= k <= 2] 1/k² = 1/1² + 1/2²

U(3) = S[1 <= k <= 3] 1/k² = 1/1² + 1/2² + 1/3²

DONC U(3) - U(2) = 1/3²


U(3) = S[1 <= k <= 3] 1/k² = 1/1² + 1/2² + 1/3²

U(4) = S[1 <= k <= 4] 1/k² = 1/1² + 1/2² + 1/3² + 1/4²

DONC U(4) - U(3) = 1/4²

tu vois qu'à chaque fois, ce qui reste est le dernier terme de U(n+1) (c'est à dire 1/(n + 1)²)
pour U(2) - U(1) >>> le dernier terme de U(2) est 1/2²
pour U(3) - U(2) >>> le dernier terme de U(3) est 1/3²
pour U(4) - U(3) >>> le dernier terme de U(4) est 1/4²
...
pour U(n+1) - U(n) >>> le dernier terme de U(n+1) est 1/(n + 1)²

Posté par
elena117re : Raisonnement par récurrence 11-10-15 à 14:29

ahh oui je comprend mieux maintenant, donc pour la premier question on doit faire Un+1-Un ??

Posté par
cocolaricottere : Raisonnement par récurrence 11-10-15 à 14:38

Rappel de ce qui t'a été répondu  par mdr_non le 10-10-2015 à 20h52

1) Faire U(n+1) - U(n)

Posté par
mdr_nonre : Raisonnement par récurrence 11-10-15 à 14:40

la première question est de déterminer le sens de variation de la suite ;

pour étudier le sens de variation d'une suite, trois méthodes :

*** étudier le signe de U(n+1) - U(n)

si c'est positif, c'est à dire si U(n+1) - U(n) >= 0  ce qui revient à U(n+1) >= U(n)
c'est que la suite est croissante,

si c'est négatif, c'est à dire si U(n+1) - U(n) <= 0  ce qui revient à U(n+1) <= U(n)
c'est que la suite est décroissante,


*** comparer le rapport U(n+1)/U(n) à 1

si U(n+1)/U(n) >= 1 ce qui revient à U(n+1) >= U(n)
c'est que la suite est croissante,

si U(n+1)/U(n) <= 1  ce qui revient à U(n+1) <= U(n)
c'est que la suite est décroissante,

*** si la suite est définie comme une fonction de n, c'est à dire U(n) = f(n), alors on étudie tout simplement les variations de la fonction f,



ici on choisira la méthode 1), donc étudier le signe de U(n+1) - U(n)

Citation :
si c'est positif, c'est à dire si U(n+1) - U(n) >= 0  ce qui revient à U(n+1) >= U(n)
c'est que la suite est croissante,

si c'est négatif, c'est à dire si U(n+1) - U(n) <= 0  ce qui revient à U(n+1) <= U(n)
c'est que la suite est décroissante,


on a trouvé U(n+1) - U(n) = 1/(n + 1)²

quel est le signe ?
conclusion sur le sens de variation

Posté par
elena117re : Raisonnement par récurrence 11-10-15 à 14:47

(Un) est donc croissante.

Posté par
mdr_nonre : Raisonnement par récurrence 11-10-15 à 14:51

très bien : )

récurrence maintenant,

Posté par
mdr_nonre : Raisonnement par récurrence 11-10-15 à 14:52

et pour voir que la suite était croissante : U(n) est une somme de termes positifs... donc croissante (quand tu ajoutes à chaque fois quelque chose de positif, la suite croit naturellement)

Posté par
mdr_nonre : Raisonnement par récurrence 11-10-15 à 14:53

croît*

Posté par
elena117re : Raisonnement par récurrence 11-10-15 à 18:32

Pour la récurrence on fait (Pn): Un+1 < ou égale à Un

Posté par
mdr_nonre : Raisonnement par récurrence 11-10-15 à 18:42

non, pourquoi tu veux faire ça ?

la question 2 te donne déjà P(n)...

Posté par
elena117re : Raisonnement par récurrence 11-10-15 à 19:02

Ahh oui j'avais pas remarquer, je vais essayer de le faire

Posté par
elena117re : Raisonnement par récurrence 11-10-15 à 20:04

J'ai essayé et je suis bloquer à l'hérédité quand je suppose que Pk+1 est vraie je ne sais pas quoi faire ensuite

Posté par
mdr_nonre : Raisonnement par récurrence 12-10-15 à 17:58

écris nous déjà jusqu'à la ligne où tu bloques,


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