Bonjour, j'ai deux petits exercices notés, seulement, je ne suis pas très alaise avec le chapitre sur les suites.
Voici les énoncés:
Exercice 1 :
Démontrer par récurrence que pour tout n ? 1 on a
1² + 2² + 3² + ? + n² = n(n+1)(2n+ 3)/6
Exercice 2 :
*****supprimé****
Pour le premier exercice, je sais que je dois procéder en deux étapes: l'initialisation et l'hérédité. Cependant, l'application se fait compliquée, puisque je ne comprends absolument pas comment faire.
Pour l'exercice 2, *********
Je ne sais pas si ce que j'ai fait est juste pour le moment.
Merci d'avance pour votre aide.
tu ouvriras un 2e sujet pour ton second exercice
regarde cette fiche sur le raisonnement par récurrence Le raisonnement par récurrence : principe et exemples rédigés
si elevedeTeS suit mon conseil et travaille la fiche que je lui ai fléchée, je pense qu'il va s'en sortir seul....
Montrons par récurrence que pour tout n ∈ ℕ: 1²+2²+3²+...+n²= n(n+1)(2n+3)/6
Notons pour cela: P(n):1²+2²+3²+...+n²= n(n+1)(2n+3)/6
Initialisation: Pour n=0: 0(0+1)(2x0+3)/6=0, donc P(0) est vraie
Hérédité: Soit k un entier naturel et supposons que P(k) est vraie.
Hypothèse: P(k): 1²+2²+3²+...+n²= n(n+1)(2n+3)/6
Résultat à prouver: P(k+1): 1²+2²+3²+...+(k+1)²= [n(n+1)(2n+3)/6]+(k+1)²
On a: 1²+2²+3²+...+(k+1)²=[k(k+1)(2k+3)]/6=[(k+1)(k(2k+3)+6(k+1))]/6=[(k+1)(k+2)(k+3)]/6
On en déduit que P(k+1) est vraie.
On en conclut par récurrence que: pour tout n∈ ℕ: 1²+2²+3²+...+n²= n(n+1)(2n+3)/6
Est-ce ceci ?
Je ne comprends pas.
Et, si on lit attentivement ma réponse, on remarque que j'ai exactement repris les mêmes formules.. que dans la fiche indiquée.
oui, ok pour le n=0, c'est possible
par contre
Bonjour, j'ai revu en intégralité mon cours avec ma professeure. Je pense avoir pu donc régler mes soucis de compréhension.
Pour l'exercice 1, il y avait une faute dans l'énoncé.
Voici les réponses que je trouve:
Exercice 1
Soit P(n): 1²+2²+3²+...+n²=[n(n+1)(2n+1)]/6
Initialisation:
Vérifions que P(1) est vraie
Si n=1² alors le membre de gauche vaut 1
Le membre de droite vaut [1(1+1)(2x1)]/6, soit 1 aussi, on a bien 1=[1(1+1)(2x1)]/6, autrement dit, P(1) est vraie.
Hérédité:
Soit n, un entier naturel non nul,
Si P(n) est vraie, alors 1²+2²+3²+...+n²=[n(n+1)(2n+1)]/6, il s'agit d'en déduire que P(n+1) est vraie en ajoutant (n+1) à chaque membre:
1²+2²+3²+...+(n+1)²=[n(n+1)(2n+1)]/6+(n+1)²
=[n(n+1)(2n+1)]/6+[6(n+1)²/6]
=[n(n+1)(2n+1)+6(n+1)(n+1)]/6
=[(n+1)[n(2n+1)+6(n+1)]]/6
=[(n+1)(2n²+7n+n+6n+6)]/6
=[(n+1)(2n²+7n+6)]/6
On peut affirmer, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier n supérieur ou égal à 1: Pn est vraie.
Exercice 2
***supprimé****1 sujet = 1 exercice, déjà dit !
Bonjour,
Même si ton calcul est correct on ne voit pas clairement à la fin pourquoi P(n+1) est vraie.
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