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Raisonnement par récurrence

Posté par
elevedeTeS
23-09-18 à 16:51

Bonjour, j'ai deux petits exercices notés, seulement, je ne suis pas très alaise avec le chapitre sur les suites.

Voici les énoncés:
Exercice 1 :
Démontrer par récurrence que pour tout n ? 1 on a
1² + 2² + 3² + ? + n² = n(n+1)(2n+ 3)/6
Exercice 2 :
*****supprimé****
Pour le premier exercice, je sais que je dois procéder en deux étapes: l'initialisation et l'hérédité. Cependant, l'application se fait compliquée, puisque je ne comprends absolument pas comment faire.
Pour l'exercice 2, *********

Je ne sais pas si ce que j'ai fait est juste pour le moment.
Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
elevedeTeS
re : Raisonnement par récurrence 23-09-18 à 16:52

à l'aise*

Posté par
malou Webmaster
re : Raisonnement par récurrence 23-09-18 à 16:57

Raisonnement par récurrence

tu ouvriras un 2e sujet pour ton second exercice

regarde cette fiche sur le raisonnement par récurrence Le raisonnement par récurrence : principe et exemples rédigés

Posté par
processus
re : Raisonnement par récurrence 23-09-18 à 16:59

Bonsoir c'est bien
{\sum_{k=1}^{n}{k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}}
?

Posté par
elevedeTeS
re : Raisonnement par récurrence 23-09-18 à 17:02

Bonsoir,
Oui c'est bien cela

Posté par
malou Webmaster
re : Raisonnement par récurrence 23-09-18 à 17:03

processus, pourquoi poser cette question ? la réponse est évidente....

Posté par
processus
re : Raisonnement par récurrence 23-09-18 à 17:03

Pour cela, un raisonnement marche super bien. Commence par vérifier ta propriété pour n=1.

Posté par
malou Webmaster
re : Raisonnement par récurrence 23-09-18 à 17:03

si elevedeTeS suit mon conseil et travaille la fiche que je lui ai fléchée, je pense qu'il va s'en sortir seul....

Posté par
processus
re : Raisonnement par récurrence 23-09-18 à 17:05

Bonsoir malou, il a écrit 2n+3 au lieu de 2n+1 c'est pour attirer son attention en fait...

Posté par
elevedeTeS
re : Raisonnement par récurrence 23-09-18 à 17:37

Montrons par récurrence que pour tout n ∈ ℕ: 1²+2²+3²+...+n²= n(n+1)(2n+3)/6
Notons pour cela: P(n):1²+2²+3²+...+n²= n(n+1)(2n+3)/6
Initialisation: Pour n=0: 0(0+1)(2x0+3)/6=0, donc P(0) est vraie
Hérédité:  Soit k un entier naturel et supposons que P(k) est vraie.
Hypothèse: P(k): 1²+2²+3²+...+n²= n(n+1)(2n+3)/6
Résultat à prouver: P(k+1): 1²+2²+3²+...+(k+1)²= [n(n+1)(2n+3)/6]+(k+1)²
On a: 1²+2²+3²+...+(k+1)²=[k(k+1)(2k+3)]/6=[(k+1)(k(2k+3)+6(k+1))]/6=[(k+1)(k+2)(k+3)]/6
On en déduit que P(k+1) est vraie.
On en conclut par récurrence que: pour tout n∈ ℕ: 1²+2²+3²+...+n²= n(n+1)(2n+3)/6

Est-ce ceci ?

Posté par
elevedeTeS
re : Raisonnement par récurrence 23-09-18 à 17:37

Je n'avais pas vu, mais sur mon sujet il est bien marqué 2n+3

Posté par
malou Webmaster
re : Raisonnement par récurrence 23-09-18 à 17:41

Citation :
Initialisation: Pour n=0: 0(0+1)(2x0+3)/6=0, donc P(0) est vraie

faux !
cette relation n'a aucun sens pour n=0
revois ton énoncé, vérifie

edit > et je pense que tu n'as pas ouvert la fiche que je t'ai fléchée;..fais comme tu veux !

Posté par
elevedeTeS
re : Raisonnement par récurrence 23-09-18 à 17:43

Je ne comprends pas.
Et, si on lit attentivement ma réponse, on remarque que j'ai exactement repris les mêmes formules.. que dans la fiche indiquée.

Posté par
malou Webmaster
re : Raisonnement par récurrence 23-09-18 à 17:51

oui, ok pour le n=0, c'est possible
par contre

Citation :
Hérédité: Soit k un entier naturel et supposons que P(k) est vraie.
Hypothèse: P(k): 1²+2²+3²+...+n²= n(n+1)(2n+3)/6

non, tu n'as pas tenu compte de la fiche, qui demande un certain travail de compréhension....

Posté par
processus
re : Raisonnement par récurrence 23-09-18 à 18:03

elevedeTeS @ 23-09-2018 à 17:37

Je n'avais pas vu, mais sur mon sujet il est bien marqué 2n+3
c'est que y a erreur

Posté par
elevedeTeS
re : Raisonnement par récurrence 23-09-18 à 18:03

Je ne vois pas comment procéder vraiment
En cours nous faisions la différence entre Un et U(n+1)

Posté par
processus
re : Raisonnement par récurrence 23-09-18 à 18:03

Bon je te laisse avec malou

Posté par
elevedeTeS
re : Raisonnement par récurrence 25-09-18 à 10:54

Bonjour, j'ai revu en intégralité mon cours avec ma professeure. Je pense avoir pu donc régler mes soucis de compréhension.
Pour l'exercice 1, il y avait une faute dans l'énoncé.
Voici les réponses que je trouve:

Exercice 1
Soit P(n): 1²+2²+3²+...+n²=[n(n+1)(2n+1)]/6
Initialisation:
Vérifions que P(1) est vraie
Si n=1² alors le membre de gauche vaut 1
Le membre de droite vaut [1(1+1)(2x1)]/6, soit 1 aussi, on a bien  1=[1(1+1)(2x1)]/6, autrement dit, P(1) est vraie.
Hérédité:
Soit n, un entier naturel non nul,
Si P(n) est vraie, alors 1²+2²+3²+...+n²=[n(n+1)(2n+1)]/6, il s'agit d'en déduire que P(n+1) est vraie en ajoutant (n+1) à chaque membre:
1²+2²+3²+...+(n+1)²=[n(n+1)(2n+1)]/6+(n+1)²
                                           =[n(n+1)(2n+1)]/6+[6(n+1)²/6]
                                           =[n(n+1)(2n+1)+6(n+1)(n+1)]/6
                                           =[(n+1)[n(2n+1)+6(n+1)]]/6
                                           =[(n+1)(2n²+7n+n+6n+6)]/6
                                           =[(n+1)(2n²+7n+6)]/6
On peut affirmer, d'après le principe de récurrence, que  pour tout entier n supérieur ou égal à 1:   Pn  est vraie.

Exercice 2
***supprimé****1 sujet = 1 exercice, déjà dit !

Posté par
littleguy
re : Raisonnement par récurrence 25-09-18 à 13:14

Bonjour,

Même si ton calcul est correct on ne voit pas clairement à la fin pourquoi P(n+1) est vraie.

Posté par
malou Webmaster
re : Raisonnement par récurrence 25-09-18 à 13:30

bonjour littleguy
comme quoi, ouvrir une fiche fléchée, c'est quand même compliqué apparemment....
( 23-09-18 à 16:57)



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