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raisonnement par récurrence

Posté par niny (invité) 05-09-06 à 19:59

bjr!
en fait on commence qqchose de nouveau et j'aurais besoin d'un petit coup de main!
on considère la suite (Un) défini pour tout n de N* par U(n)= (somme) avec un n au dessus et k=1 en dessous du signe somme de (2k-1)
et on me demande d'abord de démontrer par réccurence que pour tout n de N* on a U(n)=n²

alors moi j'ai penser aux 3
étapes: initialisation, hérédité et conclusion mais comme on a pas Un+1 jsuis un peu perdue

pr la première étape j'ai di que l'on avait bien U0=n² car U0=0 mais je ne suis pas tout a faitr sure

pr la 2eme jai dit qu'on suppose que pour un certain rang n (positif ou nul) on a Un=n² d'où.... Un supérieur à 0??
dans l'exemple il y'avait un encadrement avec Un+1 mais comme icic c'est diférent je ne sais pas comment procéder

et dc la 3ème quan j'aurais su faire les autres lol
voila si vous pouvez m'aider
ps: en petit b " en remarquant que Un est la somme des premiers entiers impairs, donner une autre démonstration du a) ) :s:s enfin déja faire lle a jcomprendrais deja mieu

merci

Posté par
patrice rabiller
re : raisonnement par récurrence 05-09-06 à 20:07

Bonjour,

Je crois déjà que, pour ta première étape tu t'es trompé(e). En effet, la suite n'est pas définie pour 0 mais seulement sur *

Posté par
infophile
re : raisonnement par récurrence 05-09-06 à 20:09

Bonjour

Sans vouloir perturber le cour du topic, je voulais féliciter patrice rabiller pour son magnifique logiciel Sine qua non

Posté par niny (invité)re : raisonnement par récurrence 05-09-06 à 20:12

mais alors avez vous des pistes ? je comprend pas

Posté par
patrice rabiller
re : raisonnement par récurrence 05-09-06 à 20:25

Voila la première étape :

pour n=1 on a : \sum_{k=1}^{1}(2k-1)=2\times 1-1=1 d'une part
et 1²=1 d'autre part.
Donc la propriété est bien vérifiée pour n=1...

Pour la deuxième étape :
Prenons un entier n tel que \sum_{k=1}^{n}(2k-1)=n^2 et calculons le terme suivant ...

Je te laisse la suite.

Merci infophile pour les compliments

Posté par niny (invité)re : raisonnement par récurrence 05-09-06 à 20:27

pk pour la première étape c'est 1 que l'on choisi?

Posté par niny (invité)re : raisonnement par récurrence 05-09-06 à 20:28

a d'accor c'est bon

Posté par niny (invité)re : raisonnement par récurrence 05-09-06 à 20:33

pr la deuxième étape s'il faut calculer le terme suivant c'est bien avec Un+1?

Posté par
patrice rabiller
re : raisonnement par récurrence 05-09-06 à 20:37

Allez, encore un petit coup de main.

Deuxième étape.
Prenons un entier n tel que l'on ait effectivement :\sum_{k=1}^{n}=(2\times1-1)+(2\times2-1]+(2\times3-1)+...+(2\times n-1)=n^2
On en déduit que : \sum_{k=1}^{n+1}=(2\times1-1)+(2\times2-1]+(2\times3-1)+...+(2\times n-1)+(2\(n+1)-1)=...

à toi ...



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