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Raisonnement par récurrence

Posté par
Mandale
25-09-22 à 20:16

Bonjour,

Je vous donne ci-dessous l'énonce de l'exercice que je n'arrive pas du tout à résoudre. Déjà je ne comprends pas comment initialiser la récurrence alors prouver par hérédité encore moins.

On considère la suite (u_{n}) définie sur \mathbb {N} par u_{0}=3 et u_{n+1}=9 \times 2^n - u_{n} pour tout {n} \in \mathbb {N}.

Montrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que la suite (u_{n}) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

Je tenterai l'initialisation par supposons que  (u_{n}) est une suite géométrique tel que  u_{n} = u_{0}q^n

u_{0} = 3q^0 = 3

La propriété est donc vraie au rang 0.

Mais alors pour l'hérédité aucune idée !

Un peu d'aide serait la bienvenue.

Merci !

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Raisonnement par récurrence 25-09-22 à 20:47

Bonsoir,
Quand on est dans le brouillard avec une suite, calculer quelques termes peut éclairer.
L'as-tu fait ?

Posté par
Mandale
re : Raisonnement par récurrence 25-09-22 à 21:00

La réponse est bien évidemment oui.

u_{1} = 6
u_{2} = 12

Donc j'arrive bien évidemment à trouver au pif (ie sans démonstration) que :

u_{n} = 3 \times 2^n
u_{n+1} = 2u_{n}

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Raisonnement par récurrence 25-09-22 à 21:09

"trouver au pif (ie sans démonstration)" peut s'exprimer par "faire une conjecture"
Tu conjectures que un = 32n.
C'est ce que tu vas démontrer par récurrence.
Commence par poser, pour n dans , P(n) : un = 32n
Puis déroule la machine.

Je ne vais plus être disponible ; mais si tu as encore des difficultés, d'autres îliens pourront t'aider.

Posté par
Mandale
re : Raisonnement par récurrence 25-09-22 à 22:24

Ok, je comprends mieux. Disons que si la "conjecture" était moins évidente, je ne l'aurais pas forcément trouvé.

Soit {n} \in \mathbb {N}, notons   P({n}) '' u_{n}=3 \times 2^n ''

Initialisation :
u_{0} = 3 \times 2^0 = 3, donc P(0) est vraie.

Hérédité :
Soit {n} \in \mathbb {N}, supposons que P({n}) '' u_{n}=3 \times 2^n'' soit vraie.

u_{n+1} = 3 \times 2^{n+1}
\Leftrightarrow 3 \times 2^n \times 2
\Leftrightarrow 3 \times 2^n \times (3 - 1)
\Leftrightarrow 3 \times 2^n \times 3 - 3 \times 2^n

Or u_n=3 \times 2^n donc
u_{n+1} = 9 \times 2^n  - u_{n}
Donc P(n) est vrai au rang {n+1}

Conclusion : on vient de prouver par récurrence que  \forall {n} \in \mathbb {N}, u_n est une suite géométrique  de raison 2 et de premier terme u_0 = 3

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Raisonnement par récurrence 25-09-22 à 23:12

Pour l'hérédité, ne pars pas de la conclusion qui est u_{n+1} = 3 \times 2^{n+1}
Pars de l'hypothèse de récurrence et de la définition de la suite u_{n+1} = 9 \times 2^n  - u_{n}.
Tu dois aboutir à u_{n+1} = 3 \times 2^{n+1} .

Posté par
Mandale
re : Raisonnement par récurrence 26-09-22 à 09:40

Ok je pense avoir compris.

Soit {n} \in \mathbb {N}, notons   P({n}) ''u_{n}=3 \times 2^n''

Initialisation :
u_{0} = 3 \times 2^0 = 3, donc P(0) est vraie.

Hérédité :
Soit {n} \in \mathbb {N}, supposons que P({n}) soit vraie (HR).
Montrons alors que P({n+1}) est vraie ie P({n+1}) ''u_{n}=3 \times 2^{n+1}'' soit vraie.

u_{n+1}=9 \times 2^n - u_{n}
\Leftrightarrow 9 \times 2^n - 3 \times 2^n car u_n=3 \times 2^n
\Leftrightarrow 3 \times 3 \times 2^n - 3 \times 2^n
\Leftrightarrow 3 \times 2^n (3 - 1)
\Leftrightarrow 3 \times 2 \times 2^n
\Leftrightarrow 3 \times 2^{n+1}

Donc P(n) est vrai au rang {n+1}

Conclusion : on vient de prouver par récurrence que  \forall {n} \in \mathbb {N}, u_n est une suite géométrique  de raison 2 et de premier terme u_0 = 3

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Raisonnement par récurrence 26-09-22 à 10:40

Tu as bien compris.
Cependant il y a quelques détails à revoir.
Je suis sur téléphone et ne peut pas expliciter.
D'autres vont passer par là.
Sinon, à ce soir.

Posté par
carpediem
re : Raisonnement par récurrence 26-09-22 à 17:50

salut

pour aider Sylvieg

oui ce n'est pas des équivalences mais tout simplement des égalités ...

ou alors il faut commencer à chaque fois par u_{n + 1} =

il manque un "+ 1" dans P(n + 1)

pour la conclusion :

P(n) est héréditaire et P(0) est vraie donc d'après le principe/théorème/axiome de récurrence P(n) est vraie pour tout entier n.
donc (u_n) est la suite géométrique de premier terme 3 et de raison 2

(il n'y a qu'une unique suite géométrique de premier terme 3 et de raison 2)


sympa ce sujet ....

on peut remarquer à postériori (ou à priori avec un peu de réflexion (*)) que :

9 \times 2^{n} = 6 \times 2^n + 3 \times 2^n = 3 \times 2^{n + 1} + 3 \times 2^n = u_{n + 1} + u_n et c'est fini ...

mais est-ce la seule solution ? ...


(*) on se doute fortement que la raison va être 2 ... et vu la relation de récurrence ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Raisonnement par récurrence 26-09-22 à 19:12

Merci carpediem
Oui l'exo est intéressant.



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