Bonjour,
Je vous donne ci-dessous l'énonce de l'exercice que je n'arrive pas du tout à résoudre. Déjà je ne comprends pas comment initialiser la récurrence alors prouver par hérédité encore moins.
On considère la suite () définie sur
par
et
pour tout
.
Montrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que la suite () est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
Je tenterai l'initialisation par supposons que () est une suite géométrique tel que
La propriété est donc vraie au rang 0.
Mais alors pour l'hérédité aucune idée !
Un peu d'aide serait la bienvenue.
Merci !
Bonsoir,
Quand on est dans le brouillard avec une suite, calculer quelques termes peut éclairer.
L'as-tu fait ?
La réponse est bien évidemment oui.
Donc j'arrive bien évidemment à trouver au pif (ie sans démonstration) que :
"trouver au pif (ie sans démonstration)" peut s'exprimer par "faire une conjecture"
Tu conjectures que un = 32n.
C'est ce que tu vas démontrer par récurrence.
Commence par poser, pour n dans , P(n) : un = 3
2n
Puis déroule la machine.
Je ne vais plus être disponible ; mais si tu as encore des difficultés, d'autres îliens pourront t'aider.
Ok, je comprends mieux. Disons que si la "conjecture" était moins évidente, je ne l'aurais pas forcément trouvé.
Soit , notons
Initialisation :
, donc
est vraie.
Hérédité :
Soit , supposons que
soit vraie.
Or donc
Donc est vrai au rang
Conclusion : on vient de prouver par récurrence que ,
est une suite géométrique de raison 2 et de premier terme
Pour l'hérédité, ne pars pas de la conclusion qui est
Pars de l'hypothèse de récurrence et de la définition de la suite .
Tu dois aboutir à .
Ok je pense avoir compris.
Soit , notons
Initialisation :
, donc
est vraie.
Hérédité :
Soit , supposons que
soit vraie (HR).
Montrons alors que est vraie ie
soit vraie.
car
Donc est vrai au rang
Conclusion : on vient de prouver par récurrence que ,
est une suite géométrique de raison 2 et de premier terme
Tu as bien compris.
Cependant il y a quelques détails à revoir.
Je suis sur téléphone et ne peut pas expliciter.
D'autres vont passer par là.
Sinon, à ce soir.
salut
pour aider Sylvieg
oui ce n'est pas des équivalences mais tout simplement des égalités ...
ou alors il faut commencer à chaque fois par
il manque un "+ 1" dans P(n + 1)
pour la conclusion :
P(n) est héréditaire et P(0) est vraie donc d'après le principe/théorème/axiome de récurrence P(n) est vraie pour tout entier n.
donc (u_n) est la suite géométrique de premier terme 3 et de raison 2
(il n'y a qu'une unique suite géométrique de premier terme 3 et de raison 2)
sympa ce sujet ....
on peut remarquer à postériori (ou à priori avec un peu de réflexion (*)) que :
et c'est fini ...
mais est-ce la seule solution ? ...
(*) on se doute fortement que la raison va être 2 ... et vu la relation de récurrence ...
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