Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Raisonnement par récurrence
Bonjour,
J'ai besoin d'aide sur une question de raisonnement par récurrence.
Je résume le sujet et mes réponses:
(Un) est une suite définie par: U(0)=1,2 et pour tout entier n, U(n+1)=f(U(n)), où f est la fonction définie sur R par:
f(x)=-x²+4x-2.
1) Etudier les variations de f sur R.
J'ai trouvé que f est croissante de ]-00;2] et décroissante de [2;+00[ avec limite de f en -00 = limite de f en +00 = -00 et f(2)=2
2) Démontrer par récurrence que (Un) est croissante et majorée par 2.
On a Pn: ''U(n)<U(n+1)<2 pour tout n"
Initialisation:
U(0) = 1,2 et U(1)= 1,36 donc P(0) vraie
Hérédité:
C'est là où je bloque:
L'hypothèse de récurrence est: U(k)<U(k+1)<2
Dois-je faire une étude de cas: sur ]-00;2] puis sur [2;+00[ car f change de variations?
Sur ]-00;2] comme f est croissante alors
f(U(k))<f(U(k+1))<f(2) donc U(k+1)<U(k+2)<2 donc P(k+1) vraie
Mais sur [2; +00[ f est décroissante. Si je fais la même chose que ci-dessus, les inégalités changent de sens et je ne peux donc pas montrer que P(k+1) est vraie.
Comment faire?
Merci d'avance
salut
tout d'abord remarquer que
donc évidemment pour tout réel x :
commençons par la majoration par 2 qui est immédiate et ne nécessite pas de récurrence puisque : d'après (*)
et évidemment
pour le sens de variation on te le donne donc soit P(n) la proposition :
on peut donc conclure ... ce que je te laisse faire proprement !!
en fait ce que tu as fait est correct :
On a Pn: ''U(n)<U(n+1)<2 pour tout n"
Initialisation: U(0) = 1,2 et U(1)= 1,36 donc P(0) vraie
Hérédité:
C'est là où je bloque:
L'hypothèse de récurrence est: U(k)<U(k+1)<2
Dois-je faire une étude de cas: sur ]-00;2] puis sur [2;+00[ car f change de variations? tu ne travailles que sur ]-oo, 2] !! et sur cet intervalle f est ... ?
Sur ]-00;2] comme f est croissante comme tu le dis ici alors
f(U(k))<f(U(k+1))<f(2) donc U(k+1)<U(k+2)<2 donc P(k+1) vraie
Mais sur [2; +00[ f est décroissante. Si je fais la même chose que ci-dessus, les inégalités changent de sens et je ne peux donc pas montrer que P(k+1) est vraie.
J'ai compris la 1ère méthode:
Comme U(n)<(U(n+1) (selon l'hypothèse de récurrence alors U(n)-U(n+1)<0 et comme U(n)<2 et U(n+1)<2 alors U(n)+U(n+1)<4. On retranche 4, U(n)+U(n+1)-4<0 d'où le produit est positif donc U(n+2)-U(n+1)>0 donc U(n+1)<U(n+2)
Pour ma méthode, pourquoi je dois étudier que sur ]-00;2[?
Mais avec cette méthode on ne le sait pas encore que U(n) est inférieur à 2 puisqu'on veut le montrer...?
Qui peut me répondre pourquoi on fait la démonstration par récurrence que sur ]-00;2]? Sachant qu'on veut montrer que U(n)<U(n+1)<2 donc on ne sait pas si U(n) est inférieur à 2 pour l'instant...
Bonjour
Pour l'hérédité, tu supposes vraie, soit
Sur cet intervalle, f est croissante, donc
ce qui donne , et ainsi
vraie
Qui peut me répondre pourquoi on fait la démonstration par récurrence que sur ]-00;2]? voir à 21h01 !!
Sachant qu'on veut montrer que U(n)<U(n+1)<2 donc on ne sait pas si U(n) est inférieur à 2 pour l'instant... on le fait à part comme moi !!
Ah d'accord, je viens de comprendre. En fait d'après l'hypothèse de récurrence U(n)<2 c'est pour ça qu'on étudie uniquement sur ]-00;2].
Merci de votre aide
Annuler
connectez vous