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Raisonnement par récurrence en TS/ sujet oral type 2

Posté par natvollmer (invité) 12-04-05 à 20:00

Bonjour à tous et à toutes,
Alors voilà, une amie a reçu aujourd'hui un sujet de type 2 à préparer pour mardi prochain (19.04.05), le thème porte sur les divers types de raisonnement.
Tout d'abord, le sujet ne comporte pas d'exercice à résoudre, mais seulement trois lignes expliquant que l'on veut faire aux élèves un raisonnement par récurrence en trouvant le résultat de l'énoncé suivant:
"Soit n un entier non nul. On veut compter le nombre de parties du plan délimitées par n droites".

La première question du travail demandé au candidat est la suivante:
"Rédiger un exercice permettant à des élèves de terminale de résoudre le problème".
GLOUPS! facile à dire. On a bien quelques pistes, mais on sait pas trop par quels bouts le prendre.
  Le résultat de notre reflexion:
Si les droites sont toutes parallèles, c'est facile on a n+1 parties du plan.
Si toutes les droites sont concourantes en un point, on a 2n parties de plan.
Et si toutes les droites se coupent mais aucunes au même point, ça à l'air de ressembler à Fibonacci (en tout cas c'est vrai jusqu'à n=5).
En excluant le cas où toutes les droites sont parallèles (cas trivial) on a ainsi un minimun de 2n parties du plan pour n droites et un maximum correspondant au nombre de Fibonacci;et n'importe quel nombre entre les deux suivant la configuration des droites.

  Voilà! Je suis ouverte à toutes les propositions, idées, objections, pistes... bref n'importe quoi!

Merci à tous !

Posté par
dotty
re : Raisonnement par récurrence en TS/ sujet oral type 2 12-04-05 à 20:55

Je vois pas trop de solutions pour le moment. Mais Pourriez vous mettre le sujet en ligne il a l'air interessant et je voudrais bien vous aider ! Et puis m'aider aussi !!

Posté par
cqfd67
re : Raisonnement par récurrence en TS/ sujet oral type 2 12-04-05 à 21:13

ben dis donc si ya des sujets comme ca au CAPES ca va donner en juin-juillet!
je suis d'accord avec toi dotty, ca serait cool si on pouvais avoir le sujet

Posté par natvollmer (invité)re : Raisonnement par récurrence en TS/ sujet oral type 2 12-04-05 à 21:28

effectivement, s'il y a un sujet comme on n'est pas sorti ... et ayons une petite pensée pour ma camarade qui se retrouve avec ce sujet à préparer pour mardi!
Donc, le sujet:    Thème: Divers types de raisonnement

1- énoncé
A l'aide d'un problème de géométrie classique vous allez amener vos élèves à rédiger correctement une récurrence. Pour cela vous leur proposerez de résoudre le problème suivant:
Soit n un entier non nul. On veut compter le nombre de parties du plan délimitées par n droites.

2- Travail demandé au candidat
1. Rédiger un exercice permettant à des élèves de terminale de résoudre le problème précedemment cité. Indiquez ensuite les notions et outils nécessaires à la résolution de l'exercice.
2. Proposer un exercice faisant intervenir le raisonnement par l'absurde en classe de quatrième.
3. Proposer un exercice pouvant être résolu par deux types de raisonnements différents.

Et voilà!

Posté par
siOk
re : Raisonnement par récurrence en TS/ sujet oral type 2 13-04-05 à 14:28

Bonjour


un lien

Posté par natvollmer (invité)re : Raisonnement par récurrence en TS/ sujet oral type 2 13-04-05 à 15:22

Merci siOk, ça clarifie ce qui concerne le nombre maximum de parties du plan délimité par n droites.

Par contre en ce qui concerne la rédaction même du problème je bloque toujours: j'ai un nombre maximum et un nombre minimum donc un encadrement, mais l'énoncé dit clairement "compter", donc je pense qu'ils veulent un nombre précis ...
si quelqu'un a une idée ...

Posté par jonas (invité)re : Raisonnement par récurrence en TS/ sujet oral type 2 15-04-05 à 11:16

Salut,

très intéressant comme question. Je ne sais pas si ça pourrait aider, mais il y a là une exercice qui est du même style :

http://maurice.ocquidant.free.fr/oral2/dossiers2005/Th10-01.pdf

(il faut déterminer une relation de récurrence pour compter le nombres de diagonales d'un polygone en fonction du nombre de ses cotés). Le  truc que je ne comprends pas, c'est pourquoi cette relation est du deuxième degré (pourquoi pas du troisième? ou du 4ème ?)

En ce qui concerne le problème ici, peut-être que la récurrence prend en compte deux paramètres : le nombre de droites et le nombre de points d'intersection.

A ce moment là, si on savait que c'était une relation de récurrence du deuxième degré homogène (par ex ; cela donnerait Ap²+Bp+Cd²+Sd+Tdp + U  avec p le nombre de pts d'intersection et d le nmobre de droites), on pourrait déterminer A B C S T et U facilementà partie de six relations ... mais il reste à savoir quel est le degré de la relation de récurrence, et pourquoi on peut le deviner ...

Je sais pas si j'ai été clair et si ça a fait avancer le schmilblick !!

jonas

Posté par natvollmer (invité)re : Raisonnement par récurrence en TS/ sujet oral type 2 15-04-05 à 20:21

Merci jonas, je vais étudier tout ça ce week-end et en faire part à moi amie. Aux dernières nouvelles elle était sur une piste, alors tel que je la connaît, je pense qu'elle touche au but....

Merci à tous pour votre aide (je vous dirai mardi comment ça c'est passé!)

Posté par enstein (invité)à votre disposition 16-04-05 à 13:45

  salut
  il s'agit d'abord d'une exercice à traiter par recurence pour guider les eleves il faut poser les question suivantes:
1)calculer les parties definies par une droite puis par deux puis par 3.
2)cojecturer le resultat.
3)montrer par reccurence que le nombre des parties delimitees par n droites sont n+1.
comme ça les eleves arriveront à resoudre le probleme

Posté par jonas (invité)re : Raisonnement par récurrence en TS/ sujet oral type 2 16-04-05 à 14:34

Salut,

je suis d'accord avec toi sur la méthode enstein, mais le problème que nous avons (en tout cas moi !) c'est quelle conjecture peut-on formuler ?

En effet n droites ne délimitent pas forcément n+1 parties du plan (ex : les droites prolongeant un triangle non aplati définissent 7 portions du plan et non 3+1=4 portions du plans ... )

D'où la difficulté de cet exercice !

Ah, je cherche, je cherche mais je n'arrive pas à trouver .... grrrrrrrrrrrr

Posté par enstein (invité)cas particulier 16-04-05 à 15:54

salut
en fait j'ai pas envisagé tous les cas possible j'ai juste raisonné sur des droites en parallele.si on veut generaliser on aura plusieurs cas à etudier puisque les droites peuvent etre paralleles comme ils peuvent avoir des pts d'intersection entre eux.dans ce cas la resolution par recurence sera plus difficile car il y a enormement de cas qu'on peut plus generaliser par recurence par exemple si les 3 droites snt en paraleles on aura 4 regions si ils forment un triangle il y aura 7 et si 2 sont paralleles et le 3 eme coupe les deux on aura 6 donc c'est impossible de trouver un cas general.

Posté par jonas (invité)re : Raisonnement par récurrence en TS/ sujet oral type 2 16-04-05 à 16:26

J'ai peut-être une idée ...

Ma supposition concernant les points d'intersection n'était pas pertinente. En effet il est possible avec 4 droites et 3 pts d'intersection d'obtenir soit 8 régions, soit 9.
La différence entre ces deux cas est le nombre de droites parallèles (2 ou 3).

Ainsi, peut-être que la récurrence prend en compte le nombre de droites et le nombre de droites parallèles (deux à deux, ou autre si 3 sont parallèles) ?

Bon, c'est pas terrible, mais sur le coup je croyais que ça allait déboucher ...

Posté par natvollmer (invité)re : Raisonnement par récurrence en TS/ sujet oral type 2 16-04-05 à 17:42

Bonjour jonas, bonjour enstein !

En fait, je pense que pour simplifier l'exo on pourrait demander tout d'abord à l'élève de traiter le cas simple où toutes les droites sont paralèlles (comme l'a si bien ecrit enstein), puis le cas où elles sont toutes sécantes en un même point et pour finir leur faire conclure que qel que soit le cas qui se présente le nombre de parties du plan déterminées par n droites est compris entre ces deux résultats. Maintenant est-ce que le jury accepterait cette réponse, c'est LA question.
En tout cas je vois pas du tout comment traiter de façon claire cette question sinon

merci à tous de vous casser la tête sur ce sujet....

Posté par Mayhem555 (invité)re : Raisonnement par récurrence en TS/ sujet oral type 2 16-04-05 à 22:49

Je n'ai pas lu tous les messages, mais peut être que de compter le nombre maximal d'intersection possible entre les droites,

par exemple pour 3 droites on peut avoir : 0, 1, 2, 3 intersections
pour 4 droites  j'ai trouvé 6 intersections maximum.

Et après conjecturer avec 2 donnés : le nombre de droites, et le nombre d'intersections.

(ca n'est qu'une hypothèse rapide je ne me suis pas trop penché sur la question)

Posté par jonas (invité)re : Raisonnement par récurrence en TS/ sujet oral type 2 20-04-05 à 14:54

Salut,

Ca ne marche pas Mayhem555 ton idée (faut lire plus haut )
Mais ça doit être dans le genre ...

Est ce que tu as eu des échos natvollmer ? Est ce que c'était comme tu l'avais pressenti (encadrement) ou alors c'était une récurrence exacte (et là qqch nous a échappé )

@+

jonas

Posté par natvollmer (invité)re : Raisonnement par récurrence en TS/ sujet oral type 2 21-04-05 à 13:59

Bonjour à tous !
ça y est l'oral est passé. D'après ce que j'ai compris, il fallait présenter l'exercice avec les cas simples (1,2 et3 droites), faire établir des relations avec n droites aux élèves pour le cas où toutes les droites sont parallèles et celui où les droites se coupent toutes en un point. Et leur faire vérifier leurs relations par récurrence.Et une fois tout ceci fait, leur faire remarquer qu'il y a un nombre quasi infini de possibilités pour tous cas non triviaux.
Cependant le "jury" (c-à-d nos profs) voulait qu'on leur dise que ce sujet était très difficile à traiter en TS....
jm'en étais pas rendu compte tiens !
En principe, ils devraient nous faire passer une correction. Une fois que je l'aurais (si je l'ai un jour), je la rajouterai ici.

Encore merci à tous...

Posté par jonas (invité)re : Raisonnement par récurrence en TS/ sujet oral type 2 21-04-05 à 21:53

Salut,

Merci à toi d'être revenue et de nous avoir communiqué la solution.

Je suis à demi-satisfait car j'aurais espéré découvrir une jolie formule ... tant pis !

Pour le coup de la difficulté, ben tiens, c'est quand même âs trivial

Bon courage à tous dans cette préparation

@++

jonas



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