Bonjour je voudrais de l'aide pour un DM.
Voici l'énoncé: Soit (Un) la suite définie sur N* par Un=(1x3x5x...x(2n-1))/(2x4x6x...x(2n))
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n non nul, Un≤ 1/racine(3n+1).
J'ai commencé par montrer que P était vraie pour 1.
Ensuite pour l'hérédité je bloque vraiment. J'y ai passé beaucoup d'heures. Si quelqu'un pouvait m'aider petit a petit.
Donc suppose l'inégalité vraie pour n et montre qu'elle est encore vraie pour n+1
Un+1 = (1x3x5x...x(2n-1)(2n+1))/(2x4x6x...x(2n)x (2n+2)) = ((2n+1)/(2n+2))Un on utilise l'hypothèse de récurrence
Un+1 ≤ ((2n+1)/(2n+2))(1/
(3n+1))
et on doit démonter que c'est ≤ (1/(3n+4))
donc en fait on doit démontrer que ((2n+1)/(2n+2))(1/(3n+1) ≤ (1/
(3n+4))
(2n+1)²/(2n+2)² ≤ (3n+1)/(3n+4)
(2n+1)²(3n+4)-(2n+2)²(3n+1) ≤ 0
et là on développe, on fait une petite prière pour que ça se simplifie, et miracle on trouve -n ≤ 0 qui est toujours vrai
Merci beaucoup de me répondre.
Mais en fait est ce que j'ai le droit de mettre Un+1 = puisque c'est un peu ce que je veux prouver.
Et puis si je montre que Un+1 est inf ou égal à (1/racine(3n+4), après?
pas vraiment.
Quand vous avez mis (2n+1)²/(2n+2)² ≤ (3n+1)/(3n+4) le (3n+1) a t'il changé de place? j'espere que vous comprenez ma question
j'ai chassé le dénominateur (3n+1) à droite (ou bien j'ai multiplié les deux cotés par
(3n+1), comme tu veux) et j'ai élevé les deux cotés au carré.
OK!
Mercii beaucoup c'est très gentil de votre part.
Puis je mettre un autre exercice un peu plus simple je pense que j'ai déjà commencé à traiter.
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