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Raisonnement par récurrence TS

Posté par
PouPeiiK
13-09-15 à 13:18

Bonjour je voudrais de l'aide pour un DM.
Voici l'énoncé: Soit (Un) la suite définie sur N* par Un=(1x3x5x...x(2n-1))/(2x4x6x...x(2n))
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n non nul, Un≤ 1/racine(3n+1).
J'ai commencé par montrer que P était vraie pour 1.
Ensuite pour l'hérédité je bloque vraiment. J'y ai passé beaucoup d'heures. Si quelqu'un pouvait m'aider petit a petit.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Raisonnement par récurrence TS 13-09-15 à 13:57

Donc suppose l'inégalité vraie pour n et montre qu'elle est encore vraie pour n+1
Un+1 = (1x3x5x...x(2n-1)(2n+1))/(2x4x6x...x(2n)x (2n+2)) = ((2n+1)/(2n+2))Un on utilise l'hypothèse de récurrence
Un+1 ≤ ((2n+1)/(2n+2))(1/(3n+1))

et on doit démonter que c'est ≤ (1/(3n+4))

donc en fait on doit démontrer que ((2n+1)/(2n+2))(1/(3n+1) ≤ (1/(3n+4))
(2n+1)²/(2n+2)² ≤ (3n+1)/(3n+4) (2n+1)²(3n+4)-(2n+2)²(3n+1) ≤ 0

et là on développe, on fait une petite prière pour que ça se simplifie, et miracle on trouve -n ≤ 0 qui est toujours vrai

Posté par
PouPeiiK
re : Raisonnement par récurrence TS 13-09-15 à 14:08

Merci beaucoup de me répondre.
Mais en fait est ce que j'ai le droit de mettre Un+1 =  puisque c'est un peu ce que je veux prouver.
Et puis si je montre que Un+1 est inf ou égal à (1/racine(3n+4), après?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Raisonnement par récurrence TS 13-09-15 à 14:16

Tes questions montrent que tu n'as pas compris grand chose de la démonstration que j'ai faite

Posté par
PouPeiiK
re : Raisonnement par récurrence TS 13-09-15 à 14:19

pas vraiment.
Quand vous avez mis (2n+1)²/(2n+2)² ≤ (3n+1)/(3n+4) le (3n+1) a t'il changé de place? j'espere que vous comprenez ma question

Posté par
Glapion Moderateur
re : Raisonnement par récurrence TS 13-09-15 à 14:24

j'ai chassé le dénominateur (3n+1) à droite (ou bien j'ai multiplié les deux cotés par (3n+1), comme tu veux) et j'ai élevé les deux cotés au carré.

Posté par
PouPeiiK
re : Raisonnement par récurrence TS 13-09-15 à 14:28

OK!
Mercii beaucoup c'est très gentil de votre part.
Puis je mettre un autre exercice un peu plus simple je pense que j'ai déjà commencé à traiter.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Raisonnement par récurrence TS 13-09-15 à 14:41

tu devrais créer un autre topic.

Posté par
PouPeiiK
re : Raisonnement par récurrence TS 13-09-15 à 14:44

ok merci



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