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rang
Comment démontrer que tte matrice de Mn(R) est somme de matrices de rg 1?
Soit (Mi,j)1<i,j<n une famille de matrices de rg 1 .
Alors pour tt i, j il existe Xi et Yj tq Mi,j=Xi.tYj.
Soit M=
Mi,j
rg(M)=rg(Mi,j)=rg(Mij,)=n
M appartient à Mn(R)
(Xi.tYj)base de Mn(R)?
*famille génératrice?
soit M appartenant à E
D'où par ce qui précède il existe (Mi,j) une famille de matrices de rg 1 tq M=Mi,j=Xi.tYj
d'où M combinaison linéaire de (Xi.tYj)
d'où M appartient à Vect({Xi.tYj})
E c Vect({Xi.tYj})
*famille libre?
M appartenant à E
d'où M=Xi.tYj
(a1X1+...+anXn)t(b1Y1.....bnYn)=aibjXi.tYj=0
aibj=0 pour tt i,j
SAlut!
helas, si, beaucoup de choses a redire....
Tu prends une famille de matrices de rang 1... n'importe laquelle? C'est assez etonnant.
Ensuite, tu utilises implicitement un resultat du type "le rang de la somme c'est la somme des rangs".. pas terrible. En plus, tu arrives a "rg(M) = n". Autrement dit n'importe quelle matrice est inversible?
C'est assez etonnant, cet exo. La question est recurrente dans plusieurs topics du forum. Avec des variantes, parfois. Ou des questions intermediaires. Dans le cas de la formulation que tu as donnes:
M = somme (mij.Eij) (par definition, quasiment).
Et (mij.Eij) est de rang 1. des que mij est non nul.
Je subodore que ce n'est pas cela qu'on attend de toi... Mais l'enonce ne demande rien de plus...
A+
biondo
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