Bonjour.

Je pense qu'il y a un petit problème. En effet, si l'on désigne par e l'endomorphisme identité et si l'on pose :



alors la limite est l'endomorphisme nul.

A plus RR.

je m'excuse, ce que je voulais écrire c'est :
rg(u)<rg(un).

Il manque sans doute quelque chose comme: "A partir d'un certain rang". Et il faut une égalité au sens large.

certes il s'agit d'une inégalité au sens large. Mais il n'y a rien de plus

Suffit de montrer que l'ensemble des endo de rang =< r est fermé pour tout  entier  r  fixé.

Pour cela examine les matrices d'ordre p extraites de ta matrice (les mineurs plus précisément)

je ne vois pas par quoi commencer malgré vos indices.

A une matrice M tu associes la somme des det(M_i)^2 pour M_i matrice d'ordre p+1 extraite de ta matrice, cette aplication est continue et les matrices de rang plus petit que p sont l'image réciproque de 0, qui est fermé

ayant montré que ces endormorphismes tels que leur rang soit <=r est un fermé, en quoi puis-je conclure à l'exercice ?

Si tu as une suite d'endomorphismes de rang au plus p qui converge alors sa limite est de rang au plus p

oui mais mon problème est de montrer que si u-> un alors rg(u)<=rg(un) alors que j'ai démontré uniquement que si rg(un)<=r => rg(u)<=r. C'est bien cela ?

une limite ne dépend pas des premiers termes ta conclusion est fauuse si elle n'est pas "à partir d'un certain rang....

De toute façon montrer que rg(u)<=rg(un) pour tout n est imposible...car faux, donc il y a un petit pB quleque part dans ton ennoncé, cela dit si tous les rangs sont inférieurs à p alors celui de la limte aussi. Cela dit si tu note p la lim inf des rangs de (u_n) alors rg(u)<=p

oui mais si je me dit que c'est une suite d'entiers qui converge alors ma suite stationne et puis-je conclure à quelque chose à ce moment là ?

(je lis que tu es à palaiseau, tu es à polytechnique ?)

Oui je suis à l'X.
Mais justement rien ne te dit que ta suite de rang converge, l'application rang n'est pas continue...(Et heureusement car sinon toutes les matrices n'not pas le meme rang)

Oulah , ce qu'il faut lire c'est : et heureusement car sinon toutes les matrices auraient le même rang

que signifie la continuité du rang ici ?

En fait rien ne dit que l'exo soit dans les réels . Si on est dans  C  une matrice ayant rang r est telle qu'un mineur  rxr  est non nul donc par continuité du déterminant (ou plus exactement de  M...> ( le  uplet de tous les mineurs rxr) ) les matrices de rang >=r forment un ouvert donc celles de rang plus petit un fermé.

> Rodrigo