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Rang d'un sous-espace vectoriel en utilisant une matrice
Bonjour tout le monde,
J'ai du mal à comprendre une solution, aidez-moi s'ils vous plaît.
Voilà l'énoncé de l'exercice :
Discuter, selon m paramètre réel, la dimension des sous-espace vectoriel de 
3 suivant :
F={(x,y,z)
3| x + my + z = 0 et mx + y + mz = 0 }
Ce que j'ai pas compris à vrai dire, c'est la solution qu'ils ont proposé.
Ils ont calculé le rg de la matrice A suivante :
rg() ( Je sais comment ils ont obtenu cette matrice ) .
Et ils ont trouvé que le rang est égal soit à 1, ou à 2 ( selon les valeurs de m ). Et ils ont déduit la dimension de F.
pour rg(A)=2, ils ont trouvé dim(F)=1.
Pour rg(A)=1, ils ont trouvé dim(F)=2.
La question que je me pose maintenant, pourquoi ont-ils fait ça, sur quelle base ont-ils fait ça ? parce que je ne vois pas du tout le rapport avec les propositions que j'ai en cours.
Merci pour votre aide d'avance.
Salut
Si le rang de la matrice vaut 2, ça veut dire que la famille ({1, m}, {m, 1}) est libre, et on a donc a + bm = 0 et am + b = 0 implique a = b = 0. Or pour qu'un vecteur (x, y, z) appartienne à F, il faut d'une part que x + my + z = 0 et d'autre part que mx + y + mz = 0. En posant a = x+z et b = y, on a bien a + bm = 0 et am + b = 0 d'où il vient que x + z = 0 et y = 0, et on a donc F = {(x, 0, -x), x }, qui est bien de dimension 1.
.
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