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Rang de matrices
Bonjour, j'ai besoin d'aide pour l'exercice suivant où je n'arrive pas à deviner ce qu'il faut faire :
Soit A ∈ Mn×n(R), où n ≥ 2 est un entier positif. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
i) rang(A) ≤ 2.
ii) Il existe U,V ∈ Mn×2(R) telles que A = UVT
J'ai pensé à une disjonction de cas mais il y en aurait tellement, cela semble être une mauvaise piste à suivre.
Bonjour,
Dire que A est de rang 2, c'est dire que la famille des colonnes de A est de rang inférieur ou égal à 2. Autrement dit, il y a deux colonnes telles que toutes les autres sont combinaisons linéaires de ces deux.
Je connais cette définition du rang et j'ai essayé de considérer la question sous cet angle là mais je ne sais pas s'il faut donc traiter les autres colonnes 1 par 1, traiter séparément les cas rg = 0, rg = 1, rg = 2 , je n'ai pas su voir la réelle piste laissée par l'indication de GBZM
J'ai pris une matrice 4x4 de rang = 2 et j'ai essayé de l'écrire sous la forme voulue et par pure chance j'ai trouvé l'expression souhaitée en mettant dans U les colonnes indépendantes et dans V l'image de la base canonique exprimée dans la base de l'image. Cela ne constitue pas une preuve mais il y a un début.
Pour 2 implique 1 je dis que rg(A)=rg(U.VT) ≤ min(rg(U), rg(VT)), les rangs de U et VT sont clairement ≤ 2 donc rang(A) ≤ 2
N'as-tu aucune idée de ce qu'on pourrait prendre comme matrice U, (à n lignes et deux colonnes) en suivant l'indication que j'ai donnée ?
Si monsieur j'ai dit dans mon message de 12h50 qu'on pouvait prendre U comme la matrices formées par les colonnes indépendantes de A, mais s'il n'y a qu'une seule (rg A = 1) dois-je en prendre une deuxième au hasard ?
Oui, tu prends deux colonnes (pas forcément indépendantes) qui engendrent l'espace des colonnes. Disons que ce sont les colonnes et
. Toute colonne
de la matrice peut alors s'écrire (pas forcément de manière unique)
pour
.
Peux-tu dire quelle matrice V fait l'affaire ?
Effectivement j'ai décrit VT dans mon dernier message, alors la matrice V recherchée est sa transposée : la matrice formée des lignes (ak bk)
bonsoir
maintenant que le fil est terminé j'aurais voulu savoir si mon raisonnement est bon... et si mes neurones ne défaillent pas trop !
GBZM me le diras car tout cela est un peu loin pour moi !
si a, application de matrice A , est de rang 2, son image V est de dimension 2 et j'en prends pour base (e;f) pour écrire les matrices. Pour les 
n je prends la base canonique.
t est l'application de n dans V définie par t(x)=a(x)
u l'injection canonique de n dans n
l'écriture matricielle de "a=u o t" ne donne-t-elle pas le résultat ?
Il y a un petit os, A est supposé de rang inférieur ou égal à 2 et pas de rang égal à 2.
Si A est bien de rang 2, ce que tu écris est très exactement ce qui a été fait (en prenant pour base de V deux colonnes qui engendrent l'espace des colonnes).
pour le rang 1, ne peut-on simplement compléter le vecteur e engendrant l'image par un vecteur f non colinéaire et prendre les mêmes applications ?
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