Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Rayon de cercle deux fois plus grand que celui du petit
Bonjour je bloque sur la dernière question de mon exercice,
ABCD est un carré de côté 2 et AEF est un triangle équilatéral.
I est le milieu de [CD], J est le milieu de [AB] et K est le point d'intersection de [IJ] et [AE]
on nomme x la longueur KJ
1) Déterminer les longueurs BE, CE et CF en fonction de x.
2) Calculer AE² et EF² et démontrer que x est solution de l'équation 4x² - 16x + 4 =0
3) En utilisant une mise sous forme canonique déterminer la valeur de x.
4) Démontrer que CKD est un triangle équilatéral.
la question sur laquelle je bloque est : 5) Démontrer que le rayon du grand cercle est deux fois celui du petit.
j'ai pensé faire quelque chose avec les bissectrices mais je bloque.
Si quelqu'un pourrait me débloquer se serait sympa 
Merci
Bonjour,
Inutile
Thales dans quelque triangle que ce soit ne donnera pas le rayon du cercle inscrit dans un autre triangle sans aucun côté parallèle 
la seule idée (assez horrible) qui me vient à l'esprit est :
appelons M l'intersection de CK et EF
et N l'intersection de DK et AF
Il s'agit donc de calculer les rayons des cercles inscrits dans CMF et ADN
dans CMF on connait (des questions précédentes) la mesure du côté CF et les angles MCF = 60° et MFC = 45° (triangles équilatéraux etc)
dans ADN on connait AD et les angles NAD=15° et NDA=30°
le problème revient donc au problème suivant :
dans un triangle, calculer le rayon du cercle inscrit connaissant un côté c et les deux angles 
et 
qui lui sont adjacents.
la formule est (je te laisse la démontrer)
à appliquer ici avec les données du problème
la difficulté à ce niveau est que on ne "connait" pas de valeur exactes des tangentes des angles de 15°, 15°/2 et 45°/2
(la tangente de 30° est connue sa valeur exacte est 1/
3, voir ça dans un triangle équilatéral avec sa hauteur et Pythagore)
tan(45°/2) = (2) - 1
tan(15°) = 2 - 3
tan(15°/2) est solution de 2x/(1-x²) = 2 - 3 (beurk)
tu as donc tout pour calculer les rayons
mais était-ce vraiment du niveau seconde ??? j'en doute très fortement !
(et la simplification des horreurs à racines carrées pour montrer que ça vaut exactement 1/2 n'est pas encore gagnée ...)
Toutes ces valeurs de tangentes d'angles "remarquables" s'obtiennent à partir de tan(45°) = 1 et tan(60°) = 3 et des formules tan(90°-x) = 1/tan(x) et tan(x+y) = (tan(x)+tan(y))/(1 - tan(x)tan(y))
Ce problème est issu d'un "Sangaku". c'est à dire d'une tablette votive accrochée dans des temples par des savants japonais à une époque ancienne (Edo), pour montrer leur science et leur savoir faire
la plupart des sangaku amènent donc à des calculs compliqués (pour montrer leur savoir faire, hein)...
généralement la solution n'est pas fournie ! (c'était : "voyez je sais faire, pouvez vous en faire autant ?", des énigmes proposées à la sagacité des autres)
Annuler
connectez vous