bonjour, soit Un la suite définie par u0=2 et Un+1= Un/(Un+2). Comment
résoudre les questions suivantes:
a) Démontrer que pour tout réel x supérieur à 0, f(x) appartient à l'intervalle
0,+inf.
b)En déduire que la suite Un est définie pour tout entier n et que Un
supérieur à 0.
je suppose que f(x)=x/(x+2)?
en étudiant le signe de x et x+2 sur [0, + [, tu trouve
le signe de f(x)
donc pour tout x appartenant à cet intervalle, f(x) appartient aussi à
cet intervalle.
tu en déduis que comme u0=2 appartient à cette intervalle, u1=f(u0),
u2=f(u1), ..., Un appartiennent à cet intervalle, ce qui permet de
dire que la suite est bien définie, et que tous ces termes sont positifs.
est ce qu'on peut mettre directement x supérieur à 0 et x+2
supérieur à 0 et donc f(x) sup à0, ou comment il faut justifier rigoureusement
le résultat?
bjr Anonyme,
Oui ta démonstration suffit...
Si tu veux être plus détaillé dans ta démonstration tu peux écrire :
Posons x R+
on a alors
x>0
de même
x+2>2 => x+2>0
=>1/(x+2)>0 (division de chaque membre par (x+2)² >0)
donc x/(x+2) >0
autrement dit
f(x)>0
On a démontré que si x R+ alors f(x)
R+.
Pour b tu peux faire comme te propose mu, ou alors pour être plus précis
sur le plan rédationnel tu peux faire la traditionnelle démonstration
par récurrence :
Pour tout n, la propriété Un>0 est-elle vraie?
Etape 1 :
Est-ce vraie pour Uo?
Uo=2 donc Uo>0
Propriété vérifiée pour Uo
Etape 2 :
Posons Un>0
A-t-on Un+1 >0
Un+1 = f(Un)
Nous avons vu par propriété de f que si x>0 alors f(x)>0
Or nous avons Un>0 donc f(Un)>0 soit Un+1>0
On a pour Un>0 alors Un+1>0
Etape 3 : Conclusion
Uo>0
et
si Un>0 alors Un+1>0
donc
la propriété Un>0 pour tout n est vérifiée.
Voilà,
à plus
Guille64
a.Démontrer que , pour tout entier n , Un+1/Un est inférieur ou égal
à 1/2
b.En remarquant que Un/Uo=(Un/Un-1)X(Un-1/Un-2)X...X(U1/Uo) , démontrer
que Un est inférieur ou égal à (1/2)^ n-1
comment faire ça?
bjr
peut-être un peu tard... mais il n'est jamais trop tard comme on dit!
Alors oui... tout d'abord BONJOUR (voire un petit merci pour ce qui
précède ca fait pas de mal )
a.Un+1/Un <=1/2 ?
Un+1/Un = Un/(Un + 2) * 1/Un
Un+1/Un = 1/(Un +2)
Or
Un>=0 <=> Un + 2 >=2 <=> 1/(Un +2) <= 1/2
d'où Un+1/Un <=1/2
b. On procède de la même manière par récurrence pour être tout correct
sur le plan rédactionnel :
Je te propose de t'inspirer de ce qu'il y a au-dessus!
à plus
Guille64
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