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Reccurence Uo>Un>Un+1

Posté par
Molotov79 10-02-19 à 10:41

(JE NE METS PAS D'ACCENT CAR MON CLAVIER EST QWERTY)
Bonjour,
j'avais un petit probleme sur mon exercice et je souhaiterai avoir de l'aide de votre part , le voici
Exercice
Soit a un reel strictement positif et f definie sur * par f(x)=(\frac{1}{2}(x+\frac{a}{x})
soit (un) definie par Uo=E(\sqrt{a})+1 , Un+1=f(Un)
a.Demontrer par recurrence que pour tout entier
\sqrt{a}<Un+1<UnUo

Uo>\sqrt{a} evident quand on ecrit la definition de E(racine de a)
Mais quand je suppose un> racine de a , je bloque quand j'encadre pour avoir l'inegalite avec Un+1
MERCI

Posté par
Glapion Moderateurre : Reccurence Uo>Un>Un+1 10-02-19 à 11:14

Astuce : remarque que \sqrt{a} est solution de x = (x+a/x)/2
autrement dit \sqrt{a} = ( \sqrt{a} +a/ \sqrt{a} )/2

Et donc U_{n+1}-\sqrt{a} = (U_n+a/U_n)/2 - (\sqrt{a} +a/\sqrt{a} )/2 et on va pouvoir mettre U_{n}-\sqrt{a} en facteur

= .... = \frac{(\sqrt{a}-U_n)^2}{2U_n} >0

Posté par
Molotov79re : Reccurence Uo>Un>Un+1 10-02-19 à 11:16

Bonjour , c'est ce que j'ai trouve mais je me disais que c'etait pas cela , MERCI

Posté par
Molotov79re : Reccurence Uo>Un>Un+1 10-02-19 à 11:18

j'ai (un2-a(1/2))/2Un>0

Posté par
HelloMathre : Reccurence Uo>Un>Un+1 10-02-19 à 11:19

Salut !

Pour passer de Un  à  Un+1 que fais-tu ? Tu calcules f(Un) qui te donne la valeur Un+1.

Dans l'hérédité de ta récurrence, tu supposes que \sqrt{a} < Un <= U0
Si tu parvenais à appliquer la fonction f à "l'ensemble" de ton inégalité, ce serait bien pratique... Or tu ne connais pas les variations de f sur cet intervalle !

Tu devrais peut être commencer à chercher par là ...

Posté par
HelloMathre : Reccurence Uo>Un>Un+1 10-02-19 à 11:20

ah je n'avais pas vu qu'il y avait déjà des réponses

Posté par
Molotov79re : Reccurence Uo>Un>Un+1 10-02-19 à 11:21

Molotov79 @ 10-02-2019 à 11:18

j'ai (un2-a(1/2))/2Un>0
Je parle de un[sub]+1/sub]-Un ce que je trouvais c'est ca
CORRECT ?

Posté par
Molotov79re : Reccurence Uo>Un>Un+1 10-02-19 à 11:23

HelloMathBiensur mais j'ai saute cette question en vous le recopiant , F croissante
AHHH je vois pourquoi on m'avait demande le TV , merci infiniment

Posté par
jihaminere : Reccurence Uo>Un>Un+1 10-02-19 à 12:05

bonjour
essaye de chercher les suites de héron
sur google

Posté par
jihaminere : Reccurence Uo>Un>Un+1 10-02-19 à 12:11

https://www.youtube.com/watch?v=zrS7D0n9n-w


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