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Recherche de lieux géométriques
Bonjour à tous ...
J'ai un petit problème de lieux géomètriques que je n'arrive pas à résoudre...
Je sollicite un peu d'aide
Voilà le problème :
On considère un carré ABCD. On désigne par M un point du segment [AC].
On note P (resp. Q) le projeté orthogonal du point M sur la droite (AD) (resp. (DC)).
1. Construire la figure.
2. Démontrer que les droites (CP) et (BQ) sont orthogonales . (Ca c'est facile)
3. On note N le point d'intersection des droites (CP) et (BQ). Emettre une conjecture concernant le lieu du point N lorsque M décrit le segment [AC].
(Il semblerait que N appartient à l'intersection du cercle de diamètre [BC] et du demi plan fermé de frontière (CO) (où O désigne le centre du carré) contenant D)
4.Démontrer la conjecture émise.
(Je n'arrive pas à établir l' implication réciproque : c'est souvent le plus gros problème des lieux géomètriques)
Merci d'avance ...
Bonsoir,
Je vois une méthode (en espérant que l'heure tardive ne me joue pas des tours ... vive le café 
)
Si je note Ca l'arc cercle de diametre [BC] que tu as décris dans ta conjecture. Il faut montrer que si un point N appartient à Ca, alors il existe un point M de [AC] tel que N soit l'intersection de (BQ) et (CP).
Si on prend le repère (A, ,
), B(1,0) et C(1,1). On prend un point N de Ca. On a donc (BN) et (CN) perpendiculaires. Soit Q le point d'intersection de (BN) et (CD). On note a l'abscisse de Q, donc Q(a,1).
Soit P le point d'intersection de (CN) et (AD). On note b l'ordonnées de P, donc P(0,b).
On a donc . Donc (1-0)(1-a)+(1-b)(0-1)=0 ssi 1-a-1+b=0 ssi a=b.
Conclusion Q(a,1) et P(0,a)
Soit M(a,a), P est donc son projeté orthogonal sur (AD) et Q son projeté orthogonal sur (DC). De plus, M appartient à [AC] car (AC) est la première bissectrice dans le repère considéré.
voilà ... je ne sais pas si c'est cela qu'il fallait démontrer exactement ...
ManueReva
Salut ManueReva
Merci de ton aide ...
Est ce que tu penses qu'une solution géomètrique est possible ???
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